Un politop toroidal este un politop care este și un toroid ( un tor cu g găuri) care are genul topologic , g , egal sau mai mare de 1.
Poliedre toroidale sunt definite ca un set de poligoane care împărtășesc vârfuri și muchii, formând o varietate . Adică, fiecare muchie trebuie să fie comună exact cu două poligoane, cifra de vârf a fiecărui vârf trebuie să fie un ciclu al poligoanelor cărora le aparține vârful dat. Pentru poliedre toroidale, această varietate va fi o suprafață orientată [1] . Unii autori limitează conceptul de „poliedru toroidal” la politopi care sunt echivalent topologic (din genul 1) torus [2] .
Aici este necesar să se facă distincția între poliedre toroidale imbricate , ale căror fețe sunt poligoane plate care nu se intersectează în spațiul euclidian tridimensional , de poliedre abstracte , suprafețe topologice fără o realizare geometrică specifică [3] . Punctul de mijloc dintre aceste două extreme poate fi considerat poliedre toroidale scufundate , adică poliedre formate din poligoane sau poligoane stea din spațiul euclidian care au voie să se intersecteze.
În toate aceste cazuri, natura toroidală a poliedrelor poate fi verificată prin orientare și caracteristica Euler, care nu este pozitivă pentru aceste poliedre.
Cele mai simple două poliedre toroidale imbricate posibile sunt poliedre Chasar și Silashi.
Poliedrul Chasar este un poliedru toroidal cu șapte vârfuri, 21 de muchii și 14 fețe triunghiulare [4] . Doar acest poliedru și tetraedrul (dintre cele cunoscute) au proprietatea că orice segment care leagă vârfurile poliedrului este o muchie a poliedrului [5] . Politopul dual este politopul Silashi , care are 7 fețe hexagonale, fiecare pereche fiind adiacentă una cu cealaltă [6] , oferind jumătate din teorema că valoarea maximă a culorilor pentru colorarea unei hărți pe un tor (genul 1) este șapte [7] .
Politopul Chasar are cel mai mic număr posibil de vârfuri pe care îl poate avea un politop toroidal imbricat, iar politopul Silashi are cel mai mic număr posibil de fețe.
| Șase prisme hexagonale | Patru cupole pătrate 8 tetraedre |
Opt octaedre |
O categorie specială de poliedre toroidale este construită numai din fețe poligonale regulate fără intersecția lor, cu constrângerea suplimentară că fețele adiacente nu se află în același plan. Acești politopi sunt numiți toroidi Stewart [8] după profesorul Bonnie Stewart care le-a investigat existența [9] . Ele sunt analoge cu solidele Johnson în cazul poliedrelor convexe , dar spre deosebire de acestea, există o infinitate de toroidi Stewart [10] . Aceste poliedre includ și deltaedre toroidale , poliedre ale căror fețe sunt triunghiuri echilaterale.
O clasă limitată de toroidi Stewart, definită și de Stewart, sunt poliedre toroidale cvasi-convexe . Acestea sunt toroidii Stewart, care includ toate marginile carcasei lor convexe . Pentru aceste poliedre, fiecare față a carcasei convexe fie se află pe suprafața toroidului, fie este un poligon ale cărui margini se află pe suprafața toroidului [11] .
Octahemioctahedron |
Cuboctaedru mic |
Dodecaedru mare |
Un poliedru format dintr-un sistem de poligoane care se intersectează în spațiu este o imersiune poliedrică a unei varietăți topologice abstracte formată din poligoane și sistemul său de muchii și vârfuri. Exemplele includ octahemioctaedrul (genul 1), cuboctaedrul mic (genul 3) și dodecaedrul mare (genul 4).
Un poliedru încoronat (sau stephanoid ) este un poliedru toroidal care este un poliedru nobil , fiind atât izogonal (aceleași tipuri de vârfuri) cât și izoedric (aceleași fețe). Poliedrul încoronat este auto-intersectant și auto-dual din punct de vedere topologic [12] .