Modulii de suprafață Riemann

Modulele unei suprafețe Riemann sunt caracteristici numerice (parametri) care sunt aceleași pentru toate suprafețele Riemann echivalente conform , care împreună caracterizează clasa de echivalență conformă a unei suprafețe Riemann date.

Motivație

O condiție necesară pentru echivalența conformă a două regiuni plate este aceeași conectivitate a acestor regiuni. Conform teoremei Riemann, toate domeniile pur și simplu conectate cu mai mult de un punct de limită sunt echivalente în mod conform între ele: fiecare astfel de domeniu poate fi mapat conform pe același domeniu canonic, care este de obicei considerat a fi cercul unitar. Pentru domeniile de conexiune , , nu există un echivalent exact al teoremei lui Riemann: este imposibil să se specifice vreun domeniu fix pe care să poată fi mapate toate domeniile dintr-o anumită ordine de conexiune în mod univalent și conform. Acest lucru a condus la o definiție mai flexibilă a unei regiuni canonice conectate, care indică structura geometrică generală a acestei regiuni, dar nu îi fixează modulele. $n$ $n>2$ $n$

Exemple

clasele conforme ale suprafețelor compacte Riemann ale genului sunt caracterizate prin module reale; $g>1$ $6g-6$
torul ( ) este caracterizat de două module; $g=1$
$n$ -domeniul plat conectat, considerat ca o suprafață Riemann cu graniță, este caracterizat de module pentru . $n>3$ $3n-6$
Fiecare domeniu dublu conectat al planului cu continuuuri de graniță nedegenerate poate fi mapat conform pe un inel circular $D$ $z$

r<|z|<R

, .

0<r<R<\infty

Raportul razelor cercurilor limită ale acestui inel este un invariant conform și se numește modulul unui domeniu dublu conectat .

R/r

D

Literatură

Moduli de suprafață Riemann - articol din Encyclopedia of Mathematics . G. V. Kuzmina, E. D. Solomentsev