Teorema de cartografiere Riemann
Teorema de cartografiere Riemann (în analiza complexă , denumită pur și simplu teorema lui Riemann ) este un rezultat clasic al geometriei conformale bidimensionale și al analizei complexe unidimensionale.
Fie un domeniu pe planul complex extins care este pur și simplu conectat și granița sa conține mai mult de un punct. Apoi, există o funcție holomorfă pe discul unității care o mapează la unu-la-unu .
Note
O funcție holomorfă care este unu-la-unu (adică inversabilă ) este o mapare conformă, astfel încât teorema poate fi enunțată în termeni de echivalență conformă. De asemenea, nu contează dacă să afirmăm existența unei funcții sau a unei inverse, . Este chiar posibil să se solicite existența unei mapări de la orice domeniu simplu conectat la oricare altul simplu conectat - acest lucru nu face afirmația teoremei mai puternică.
Această teoremă pare paradoxală, deoarece condițiile de pe regiune sunt pur topologice și nu specifică în niciun fel geometria limitei sale . Într-adevăr, este relativ ușor să construiești mapări conforme ale unui cerc nu numai pe poligoane și alte figuri cu colțuri, ci și pe regiuni precum un cerc cu o rază decupată etc. Cu oarecare îndemânare, chiar și o funcție este construită pe un cerc. , a cărei imagine nu are o chenar nicăieri netedă . Cu toate acestea, Riemann a reușit să demonstreze teorema numai sub ipoteza netezirii pe bucăți a limitei.
Unicitatea cartografierii
Deoarece este ușor să mapați în mod non-identic cercul unității pe el însuși, maparea conformă dorită nu poate fi unică. Cu toate acestea, este ușor de observat că toată arbitrarul în construcția mapării este atribuită automorfismelor cercului unitar, care formează grupul Lie tridimensional real .
Variații și generalizări
- Dacă în loc de un domeniu pe plan complex considerăm un domeniu pe o suprafață Riemann arbitrară , atunci ajungem la teorema de uniformizare .
- Încercările de a generaliza această teoremă la geometria conformă reală în dimensiuni mai mari de 2, precum și la geometrie complexă în dimensiuni mai mari de 1, folosind conceptul de mapare holomorfă, nu au condus la niciun succes deosebit. Se dovedește că în ambele cazuri condițiile pur topologice nu mai sunt suficiente pentru echivalența domeniilor. Teorema de geometrizare poate fi considerată ca o variantă a generalizării teoremei la cazul tridimensional.
Literatură