Mozaic Penrose

Mozaic Penrose ( Tiles Penrose ) - denumirea generală a trei tipuri speciale de partiționare neperiodică a planului; numit după matematicianul englez Roger Penrose , care le-a explorat în anii 1970.

Toate cele trei tipuri, la fel ca orice plăci aperiodice, au următoarele proprietăți:

• non-periodicitate - absența simetriei translaționale ,
• repetabilitate (numită și auto-similaritate, care, totuși, nu este legată de proprietatea cu același nume a fractalilor ) - orice fragment arbitrar de mare al mozaicului Penrose apare în mozaic de un număr infinit de ori, deși prin distanțe inegale,
• cvasicristalinitate  - atunci când este difractat pe un mozaic, ca pe o structură fizică, modelul de difracție arată prezența unui ordin cu distanță lungă și a unei simetrii de ordinul al cincilea.

Istorie

Placuri periodice și aperiodice

O placă  este o acoperire a unui plan cu plăci fără goluri și plăci suprapuse una peste alta. Plăcile pot lua de obicei un număr finit de forme diferite, numite prototile . Se spune că un set de prototiles admite o placare dacă există o placare a planului cu plăci care sunt congruente cu prototilele setului.

O placă se numește periodică dacă există o familie de doi parametri de translații paralele , fiecare dintre ele combinând-o cu ea însăși. În caz contrar, placarea se numește neperiodică. Cele mai cunoscute plăci (cum ar fi plăcile pătrate sau triunghiulare ) sunt periodice.

Un set de prototile se spune a fi aperiodic dacă admite o terasare a planului, dar orice țiglare prin aceste plăci este neperiodică. O placare a unui plan cu plăci dintr-un set aperiodic se mai numește și aperiodic.

Teselații aperiodice timpurii

În anii 1960, logicianul Hao Wang s-a gândit la  problema plăcuirii planului cu pătrate de culoarea marginilor (cunoscute acum sub numele de plăci Wang ): este posibil să placați planul cu astfel de pătrate fără rotații sau reflexii, astfel încât pătratele să se atingă între ele cu margini de aceeași culoare.

Wang a observat că dacă această problemă este indecidabilă din punct de vedere algoritmic , atunci există un set aperiodic de plăci Wang. Acest lucru a fost considerat improbabil la acea vreme, așa că Wang a presupus că problema placajului poate fi rezolvată.

Totuși, studentul lui Wang, Robert Berger , a arătat că problema plăcirii este indecibilă din punct de vedere algoritmic (adică conjectura lui Wang a fost greșită). El a construit, de asemenea, setul de plăci aperiodice al lui Wang de 20.426 de plăci. Ulterior, au fost găsite seturi aperiodice de mai puține plăci. În acest moment, minimul este un set de 13 plăci găsite de Karel Chulik în 1996 .

Pe baza rezultatelor lui Berger, Rafael Robinson a obținut un set aperiodic format din doar șase prototile (rotațiile și reflexiile sunt deja permise).

Dezvoltarea plăcilor Penrose

Primul tip de placă Penrose (P1) constă, de asemenea, din șase prototile, dar acestea nu se bazează pe un pătrat, ci pe un pentagon obișnuit. Pe baza ideilor exprimate de Johannes Kepler în Harmonices Mundi , el a reușit să găsească forme de plăci și reguli de combinare care garantau aperiodicitatea setului. Mozaicul P1 poate fi privit ca o extensie a „figura Aa” - figura finită descrisă de Kepler, compusă din pentagoane regulate, stele cu cinci colțuri, decagoane și alte câteva figuri.

Ulterior, Penrose a reușit să reducă numărul de prototile la două, obținând încă două tipuri de plăci Penrose: din deltoizi (P2) și din romburi (P3). Mozaicul romb Penrose a fost, de asemenea, descoperit independent de Robert Ammann .

În 1981, Nicholas de Bruijn a descris un mod algebric de construire a plăcilor Penrose bazate pe cinci familii de linii paralele (sau, alternativ, prin tăierea spațiului cincidimensional cu un plan bidimensional).

Tipuri de gresie Penrose

Cele trei tipuri de plăci Penrose au multe caracteristici comune, astfel încât formele plăcilor din toate cele trei tipuri sunt asociate cu pentagonul obișnuit și raportul de aur . În acest caz, formularele de bază trebuie completate cu reguli de combinare pentru a garanta aperiodicitatea. Regulile de potrivire specifică modul în care plăcile adiacente se pot potrivi între ele și pot fi implementate prin etichetarea vârfurilor, marginilor sau o ușoară remodelare (adăugând creste și jgheaburi corespunzătoare la margini)

Tigla originală Penrose (P1)

Acest tip de plăci Penrose este construit din șase tipuri de plăci: trei dintre ele au forma unui pentagon obișnuit (diferă în regulile de combinație), restul au forma unei stele cu cinci colțuri, o „barcă” ( asemănător cu o stea cu două raze tăiate) și un romb.

Mozaic Penrose de deltoizi (P2)

Al doilea tip de plăci Penrose este construit din două tipuri de plăci: un deltoid convex (" șarpe ") și un deltoid concav ("dart"). Aceste forme pot fi conectate pentru a forma un romb, dar regulile de combinare interzic o astfel de combinație de plăci într-o placă Penrose.

• Deltoidul convex are unghiuri de 72°, 72°, 72° și 144°. Axa de simetrie o împarte în două triunghiuri isoscele egale cu unghiuri de 36°, 72° și 72° (așa-numitul „triunghi de aur”).
• Deltoidul concav are unghiuri de 36°, 72°, 36° și 216°. Axa de simetrie o împarte în două triunghiuri isoscele egale cu unghiuri de 36°, 36° și 108° (așa-numitul „triunghi de aur obtuz”).

Regulile de combinare pot fi definite în mai multe moduri. Este posibil să colorați vârfurile plăcilor cu două culori și să cereți ca vârfurile adiacente să aibă aceeași culoare. Este posibil să se aplice un model pe plăci, ca în imaginea din stânga, și să se solicite ca modelele de pe plăcile adiacente să fie consistente (în cazul arcelor colorate din stânga, astfel încât curbele să nu se rupă).

O placă Penrose de tip P2 poate avea șapte tipuri de vârfuri. John Conway și-a dat fiecăruia propriul nume: vârfurile simetrice au fost numite „soare” și „lună” în forma lor, iar restul vârfurilor au fost numite după valorile cărților de joc : „as”, „două” , „jack”, „regina” și „rege”. ".

Diamond Mozaic de Penrose (P3)

Al treilea tip este, de asemenea, construit din două tipuri de plăci. Ambele tipuri de plăci sunt în formă de diamant. Au aceeași lungime a laturii, dar unghiuri diferite. Regulile de combinare împiedică utilizarea plăcilor pentru placarea periodică.

• Un romb îngust are un unghi ascuțit de 36°. Diagonala scurtă o împarte în două „triunghiuri de aur”.
• Un romb larg are un unghi ascuțit de 72°. Diagonala lungă o împarte în două „triunghiuri de aur” în unghi obtuz.

O placă Penrose de tip P3 poate avea opt tipuri de vârfuri. Au fost numite de de Bruijn după primele litere ale vârfurilor de tip P2.

Proprietățile plăcilor Penrose

Operatii de slefuire si grosolare

Majoritatea proprietăților generale, inclusiv aperiodicitatea, decurg din structura ierarhică definită de rafinarea și mărirea plăcilor Penrose.

Prin tăierea tuturor plăcilor plăcilor Penrose după anumite reguli și apoi combinând unele dintre fragmente, se poate obține o plăci Penrose cu plăci similare cu cele originale cu coeficient.

Această operație se numește șlefuire. Regulile în general sunt următoarele: fiecare tip de plăci este tăiat în plăci mai mici și bucăți de plăci. În cazul lui P2 și P3, piesele vor fi jumătăți ale plăcilor (triunghiuri de aur), în cazul lui P1, acestea pot fi triunghiuri de aur, precum și un trapez. Atunci când se aplică aceste reguli plăcilor Penrose, urmând regulile de combinare, părțile plăcilor vor fi aranjate astfel încât să poată fi combinate pentru a forma o placă întreagă.

Operația inversă, numită mărire, este definită în mod unic. Unicitatea măririi implică aperiodicitatea placării.

Alte plăci asociate cu gresie Penrose

Acoperire cu decagoane

În 1996, matematicianul german Petra Hummelt a arătat că există o acoperire (spre deosebire de gresie, unde plăcile sunt lăsate să se suprapună) planului cu decagoane, echivalentă cu placarea Penrose. Placa decagonală este bicoloră, iar regula de plăci permite doar suprapunerea plăcilor astfel încât două zone cu culori diferite să nu se suprapună.

Astfel de acoperiri au fost văzute ca un model realist pentru creșterea cvasicristalelor: decagonii suprapusi sunt „celule cvasi-unitate”, analoge cu celulele unitare ale cristalelor obișnuite.

Teselație „hexagon, barcă, stea”

Această teselație, numită și HBS pe scurt ( eng.  hexagon-boat-star ), este obținută dintr-o placare Penrose de tip P3 prin combinarea plăcilor în altele mai mari. De asemenea, se obține din P1 prin unirea centrelor pentagoanelor adiacente.

Această placă este, de asemenea, considerată ca un model realist pentru creșterea cvasicristalelor: cele trei tipuri de plăci reprezintă cele trei tipuri de atomi, iar regulile de combinare reflectă interacțiunile dintre ele.

În spațiul 3D

În spațiul tridimensional , se folosesc icosaedre , care umplu dens spațiul tridimensional [2] .

În arhitectură

Moscheea imamului Darb-i , situată pe teritoriul Iranului modern în provincia Isfahan și construită în 1453, este decorată cu un model ( girih ), care amintește puternic ca structură de mozaicul Penrose.

Note

1. ↑ Culik & Kari, 1997 .
2. ↑ Penrose Tiles . Consultat la 9 februarie 2011. Arhivat din original pe 22 septembrie 2013. (nedefinit)

Literatură

• Culik, Karel & Kari, Jarkko (1997), On aperiod sets of Wang tiles , Foundations of Computer Science , voi. 1337, Note de curs în informatică, p. 153–162, ISBN 3-540-63746-X , DOI 10.1007/BFb0052084 

Link -uri

• Quasicristale și proporția de aur / Știință și viață, nr. 10, 2005
• Penrose tilings  (engleză) O prezentare generală a diferitelor tipuri și metode de construcție.

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)