Fractal

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 decembrie 2021; verificările necesită 6 modificări .

Fractal ( lat. fractus - zdrobit, spart, spart) - un set care are proprietatea de auto-asemănare (un obiect care se potrivește exact sau aproximativ cu o parte din el însuși, adică întregul are aceeași formă ca una sau mai multe părți ). În matematică, fractalii sunt înțeleși ca mulțimi de puncte din spațiul euclidian , având o dimensiune metrică fracțională (în sensul lui Minkowski sau Hausdorff ), sau o dimensiune metrică, alta decât cea topologică , deci ar trebui să se distingă de alte forme geometrice limitate de o formă finită. numărul de linkuri. Figurile auto-similare care se repetă de un număr finit de ori se numesc prefractali.

Primele exemple de mulțimi auto-similare cu proprietăți neobișnuite au apărut în secolul al XIX-lea ca urmare a studiului funcțiilor continue nediferențiabile (de exemplu, funcția Bolzano , funcția Weierstrass , mulțimea Cantor ). Termenul „fractal” a fost introdus de Benoit Mandelbrot în 1975 și a devenit cunoscut pe scară largă odată cu lansarea cărții sale „The Fractal Geometry of Nature ” în 1977 . Fractalii au câștigat o popularitate deosebită odată cu dezvoltarea tehnologiilor informatice, ceea ce a făcut posibilă vizualizarea eficientă a acestor structuri.

Cuvântul „fractal” este folosit nu numai ca termen matematic. Un fractal este un obiect care are cel puțin una dintre următoarele proprietăți:

Are o structură non-trivială la toate scările. Aceasta este diferența față de figurile obișnuite (cum ar fi cerc , elipsa , graficul unei funcții netede ): dacă luăm în considerare un mic fragment dintr-o figură obișnuită la o scară foarte mare, acesta va arăta ca un fragment de linie dreaptă. Pentru un fractal, mărirea nu duce la o simplificare a structurii, adică la toate scările se poate vedea o imagine la fel de complexă.
Este auto-similar sau aproximativ auto-similar.
Are o dimensiune metrică fracțională sau o dimensiune metrică care este superioară dimensiunii topologice .

Multe obiecte din natură au proprietăți fractale, de exemplu: coaste, nori, coroane de copaci, fulgi de zăpadă, sistemul circulator, alveole .

Exemple

Mulțimi auto-asemănătoare cu proprietăți neobișnuite în matematică

Începând de la sfârșitul secolului al XIX-lea, în matematică au apărut exemple de obiecte autosimilare cu proprietăți patologice din punct de vedere al analizei clasice. Acestea includ următoarele:

setul Cantor este un set nenumărat de perfect dens nicăieri. Prin modificarea procedurii, se poate obține și un set de lungimi pozitive nicăieri dens;
triunghiul Sierpinski („fața de masă”) și covorul Sierpinski sunt analogi ale lui Cantor așezat în avion;
buretele Menger este un analog al covorului Sierpinski în spațiul tridimensional;
exemple de Weierstrass și van der Waerden ale unei funcții continue diferențiabile nicăieri ;
curba Koch este o curbă continuă care nu se intersectează cu sine de lungime infinită care nu are tangentă în niciun punct;
curba Peano este o curbă continuă care trece prin toate punctele pătratului;
De asemenea, traiectoria unei particule browniene nu este diferențiabilă cu probabilitatea 1. Dimensiunea sa Hausdorff este de două [1] .

Procedura recursiva pentru obtinerea curbelor fractale

Există o procedură recursivă simplă pentru obținerea curbelor fractale într-un plan. Definim o linie întreruptă arbitrară cu un număr finit de legături, numită generator. În continuare, înlocuim fiecare segment din el cu un generator (mai precis, o linie întreruptă similară unui generator). În linia întreruptă rezultată, înlocuim din nou fiecare segment cu un generator. Continuând până la infinit, în limită obținem o curbă fractală. Figura din dreapta arată primul, al doilea și al patrulea pas al acestei proceduri pentru curba Koch.

Exemple de astfel de curbe sunt:

curba Koch (fulg de zăpadă Koch),
curba Levy ,
curba Minkowski ,
curba Hilbert
Dragon rupt (curb) (Fractal Harter-Hateway),
curba Peano .
curba Myakishev

Folosind o procedură similară, se obține un arbore pitagoreic .

Fractalii ca puncte fixe ale mapărilor de contracție

Proprietatea de auto-asemănare poate fi exprimată matematic riguros după cum urmează. Fie mapările de contracție ale planului. Luați în considerare următoarea mapare pe mulțimea tuturor submulților compacte (închise și mărginite) ale planului: $\psi _{i},\,i=1,\dots ,n$ $\Psi \colon K\mapsto \cup _{{i=1}}^{n}\psi _{i}(K)$

Se poate arăta că maparea este o mapare de contracție pe mulțimea compactei cu metrica Hausdorff . Prin urmare, după teorema lui Banach , această mapare are un singur punct fix. Acest punct fix va fi fractalul nostru. $\psi$

Procedura recursivă pentru obținerea curbelor fractale descrisă mai sus este un caz special al acestei construcții. În ea, toate mapările sunt mapări similare și reprezintă numărul de linkuri ale generatorului. $\psi _{i},\,i=1,\dots ,n$ $n$

Pentru triunghiul Sierpinski și maparea , , sunt homoteții cu centre la vârfurile unui triunghi regulat și coeficient 1/2. Este ușor de observat că triunghiul Sierpinski se transformă în sine sub cartografiere . $n=3$ $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi_{3}$ $\psi$

În cazul în care mapările sunt transformări de similaritate cu coeficienți , dimensiunea fractalului (în unele condiții tehnice suplimentare) poate fi calculată ca soluție a ecuației . Deci, pentru triunghiul Sierpinski obținem . $\psi _{i}$ $r_{i}>0$ $s$ $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1$ $s=\ln 3/\ln 2$

Conform aceleiași teoreme Banach , pornind de la orice mulțime compactă și aplicând iterații de mapare acesteia , obținem o succesiune de mulțimi compacte convergente (în sensul metricii Hausdorff) către fractalul nostru. $\psi$

Fractali în dinamica complexă

Fractalii apar în mod natural în studiul sistemelor dinamice neliniare . Cel mai studiat caz este atunci când sistemul dinamic este definit prin iterații ale unui polinom sau ale unei funcții holomorfe a unei variabile complexe pe plan. Primele studii în această zonă datează de la începutul secolului al XX-lea și sunt asociate cu numele de Fatou și Julia.

Fie un polinom și un număr complex . Luați în considerare următoarea secvență: $F(z)$ $z_{0}$ $z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F (F(z_{0})))=F(z_{2}),...$

Suntem interesați de comportamentul acestei secvențe pe măsură ce se apropie de infinit. Această secvență poate: $n$

tinde spre infinit
străduiește-te pentru final
prezintă un comportament ciclic în limită, de exemplu: $z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},...$
să se comporte haotic, adică să nu demonstreze niciunul dintre cele trei tipuri de comportament menționate.

Seturile de valori pentru care o secvență prezintă un anumit tip de comportament, precum și seturile de puncte de bifurcare între diferite tipuri, au adesea proprietăți fractale. $z_{0}$

Deci, mulțimea Julia este mulțimea punctelor de bifurcație pentru un polinom (sau altă funcție similară), adică acele valori pentru care comportamentul secvenței se poate schimba dramatic cu modificări arbitrar mici în . $F(z)=z^{2}+c$ $z_{0}$ $z_n$ $z_{0}$

O altă opțiune pentru obținerea de mulțimi fractale este introducerea unui parametru în polinom și luarea în considerare a setului acelor valori ale parametrilor pentru care secvența demonstrează un anumit comportament pentru un fix . Astfel, mulțimea Mandelbrot este mulțimea tuturor pentru care pentru și nu tinde spre infinit. $F(z)$ $z_n$ $z_{0}$ $c\in {\mathbb {C}}$ $z_n$ $F(z)=z^{2}+c$ $z_{0}$

Un alt exemplu binecunoscut de acest fel sunt bazinele lui Newton .

Este popular să se creeze imagini grafice frumoase pe baza dinamicii complexe prin colorarea punctelor plane în funcție de comportamentul sistemelor dinamice corespunzătoare. De exemplu, pentru a completa setul Mandelbrot, puteți colora punctele în funcție de viteza de apropiere a infinitului (definit, de exemplu, ca cel mai mic număr la care depășește o valoare mare fixă ). $z_n$ $n$ $|z_{n}|$ $A$

Biomorfii sunt fractali construiți pe baza unei dinamici complexe și asemănătoare cu organismele vii.

Fractali stocastici

Obiectele naturale au adesea o formă fractală. Pentru modelarea lor se pot folosi fractali stocastici (aleatorii). Exemple de fractali stocastici:

traiectoria mișcării browniene în plan și în spațiu;
limita traiectoriei mișcării browniene pe plan. În 2001, Lawler, Schramm și Werner au demonstrat conjectura lui Mandelbrot că dimensiunea sa este 4/3.
evoluția Schramm-Löwner - curbe fractale conform invariante care apar în modelele critice bidimensionale ale mecanicii statistice , de exemplu, în modelul Ising și percolație .
diverse tipuri de fractali randomizati, adica fractali obtinuti cu ajutorul unei proceduri recursive, in care se introduce un parametru aleator la fiecare pas. Plasma este un exemplu de utilizare a unui astfel de fractal în grafica computerizată.

Obiecte naturale cu proprietăți fractale

Obiectele naturale ( cvasi -fractali) diferă de fractalii abstracti ideali prin incompletitudinea și inexactitatea repetărilor structurii. Cele mai multe structuri de tip fractal care apar în mod natural (linie de țărm, copaci, frunze de plante, corali , ...) sunt cvasi-fractali, deoarece la o scară mică structura fractală dispare. Structurile naturale nu pot fi fractali ideali din cauza limitărilor impuse de dimensiunea celulei vii și, în cele din urmă, de dimensiunea moleculelor .

În fauna sălbatică:
- corali
- Stele de mare și arici
- scoici de mare
- Flori si plante ( broccoli , varza )
- Coroanele copacilor și frunzele plantelor
- Fructe ( ananas )
- Sistemul circulator și bronhiile umane și animale
În natura neînsuflețită:
- Granițele obiectelor geografice (țări, regiuni, orașe)
- Coastele
- lanțuri muntoase
- Fulgi de nea
- nori
- Fulger
- Modele înghețate pe geamurile ferestrelor
- cristale
- Stalactite , stalagmite , helictite .

Aplicație

Științe ale naturii

În fizică, fractalii apar în mod natural la modelarea proceselor neliniare, cum ar fi fluxul de fluid turbulent , procesele complexe de difuzie - adsorbție , flăcări, nori și altele asemenea. Fractalii sunt utilizați în modelarea materialelor poroase, de exemplu, în petrochimie. În biologie, ele sunt folosite pentru a modela populațiile și pentru a descrie sistemele de organe interne (sistemul vaselor de sânge). După crearea curbei Koch, s-a propus utilizarea acesteia la calcularea lungimii liniei de coastă.

Inginerie radio

Antene fractale

Utilizarea geometriei fractale în proiectarea dispozitivelor de antenă a fost inițiată de inginerul american Nathan Cohen, care locuia atunci în centrul orașului Boston , unde era interzisă instalarea de antene externe pe clădiri. Nathan a decupat o figură sub forma unei curbe Koch din folie de aluminiu și a lipit-o pe o foaie de hârtie, apoi a atașat-o la receptor .

Cohen și-a fondat propria companie și și-a produs antenele în masă. De atunci, teoria antenelor fractale a continuat să se dezvolte intens. [2] [3] [4] Avantajul unor astfel de antene este multibandă și bandă largă comparativă.

Informatica

Comprimarea imaginii

Există algoritmi de compresie a imaginilor care folosesc fractali. Ele se bazează pe ideea că în locul imaginii în sine, se poate stoca o hartă de contracție , pentru care această imagine (sau ceva apropiat) este un punct fix . Una dintre variantele acestui algoritm a fost folosită de Microsoft [5] atunci când și-a publicat enciclopedia, dar acești algoritmi nu au fost folosiți pe scară largă.

Grafică pe computer

Fractalii sunt folosiți pe scară largă în grafica computerizată pentru a construi imagini ale obiectelor naturale, cum ar fi copacii, tufișurile, peisajele montane, suprafețele mării și așa mai departe. Există multe programe care servesc la generarea de imagini fractale, vezi Fractal Generator (program) .

Rețele descentralizate

Sistemul de atribuire a adresei IP al lui Netsukuku folosește principiul compresiei informațiilor fractale pentru a stoca în mod compact informații despre nodurile rețelei. Fiecare nod din rețeaua Netsukuku stochează doar 4 KB de informații despre starea nodurilor învecinate, în timp ce orice nod nou se conectează la rețeaua generală fără a fi nevoie de o reglementare centrală a distribuției adreselor IP , ceea ce, de exemplu, este tipic pentru Internet. Astfel, principiul compresiei informațiilor fractale garantează o funcționare complet descentralizată și, prin urmare, cea mai stabilă a întregii rețele.

Vezi și

Note

↑ Terekhov S. V. Fractali și fizica similarității. - Donețk: Imprimeria digitală, 2011. - P. 12. - 255 p.
↑ Vishnevsky V. M., Lyakhov A. I., Portnoy S. L., Shakhnovich I. V. Rețele fără fir în bandă largă pentru transmiterea informațiilor. — M.: Tehnosferă. - 2005.- C. 498-569
↑ Krupenin S. V. Structuri radiante fractale și un model analog al impedanței fractale. Dis. cand. Fiz.-Matematică. Științe: 01.04.03, 01.04.04 / [Locul de protecție: Mosk. stat un-t im. M. V. Lomonosov. Fiz. facultate].- Moscova, 2009.- 157 p.
↑ Babichev D. A. Dezvoltarea și cercetarea unei antene microstrip bazată pe abordarea fractală. Dis. cand. tehnologie. Științe: - 05.12.07. [Locul de protecție: Sankt Petersburg. stat Inginerie Electrică un-t (LETI)]. - Sankt Petersburg, 2016. - 104 p. [1] Arhivat pe 19 iunie 2018 la Wayback Machine
↑ Fractal Image Compression Arhivat 23 februarie 2014 la Wayback Machine pe Computerworld Rusia

Literatură

Abachiev S. K. Despre triunghiul lui Pascal, divizori simpli și structuri fractale // În lumea științei, 1989, nr. 9.
Balhanov V.K. Fundamentele geometriei fractale și calculului fractal . - Ulan-Ude: EDITURA BSU, 2013. - 224 p. - ISBN 978-5-9793-0549-3 . (Rusă)
Demenok S. L. Doar un fractal . — Ciclul de publicații „Fractali și haos”. - Sankt Petersburg: „STRATA”, 2019.
Demenok S. L. Superfractal . — Ciclul de publicații „Fractali și haos”. - Sankt Petersburg: „STRATA”, 2019.
Ivanov M. G., „ Dimensiunea și dimensiunea ” // „Potențial”, august 2006.
Kirillov A. A. O poveste cu doi fractali . — Școala de vară „Matematică modernă”. — Dubna, 2007.
Frumoasă viață a numerelor complexe // Hard'n'Soft, № 9, 2002. pp. 90.
Kronover R. M. Fractali și haos în sistemele dinamice. Fundamentele teoriei.
Lipov A. N. Fractali. În memoria lui Benoit Mandelbrot // Filosofie și cultură Nr. 9 (33) 2010. Nr. 8. P. 39-54.
Mavrikidi F. I. Matematica fractală și natura schimbării // „Delphis” - nr. 54 (2) - 2008.
Mavrikidi F. I. Fractali: înțelegerea lumii interconectate // „Delphis” - nr. 23 (3) - 2000.
Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii. - M .: „Institutul de Cercetări Informatice”, 2002.
Mandelbrot Benoist , Richard L. Hudson. Piețe (Ne)ascultătoare: O revoluție fractală în finanțe = The Misbehavior of Markets. - M . : „Williams” , 2006. - 400 p. — ISBN 5-8459-0922-8 .
Paytgen H.-O., Richter P. H. Frumusețea fractalilor. Imagini ale sistemelor dinamice complexe. - M .: „Mir”, 1993.
Feder E.Fractali. - M: „Mir”, 1991.
Fomenko A. T. Geometrie vizuală și topologie. - M .: Editura MSU, 1993.
Fractali în fizică. Proceedings of the 6th International Symposium on Fractals in Physics, 1985 . - M .: „Mir”, 1988.
Tsitsin F. A. Universul fractal // „Delphis” - nr. 11 (3) - 1997.
Schroeder M. Fractali, haos, legile puterii. Miniaturi dintr-un paradis fără sfârșit. - Izhevsk: „RHD”, 2001.

Link -uri

Fractali și haos
Sisteme Lindenmeier (L-Systems). Instrument online pentru generarea de fractali geometrici.
Fractali în numere prime - Articol de Sergey Gerasimov pe habrahabr
Articol despre fractali. Sunt date exemple de calcul și construcție a unei interpretări grafice a unor fractali algebrici și geometrici. Există link-uri către generatoare online și coduri sursă C#.
Nadezhda Atayeva, Seturi de fractale (Universitatea de Stat din Sankt Petersburg: PM-PU)
Farmecul auto-asemănării . Becul lui Mandelbrot și multe altele în galeria fractală a Lentei. Ru // Lenta. Ru, 27 de fotografii.
Fractalii sunt geometria naturii . Implementarea fractalilor în delphi și multe altele în Clubul Programatorilor .
„Fractali. Căutarea unor noi dimensiuni „( ing. Fractals. Hunting The Hidden Dimension ) este un film de popularitate științifică filmat în 2008.
Fractali pe Elementy.ru
JJ O'Connor, E.F. Robertson. O istorie a geometriei fractale . Arhiva MacTutor Istoria matematicii . Școala de Matematică și Statistică, Universitatea St Andrews, Scoția (februarie 2009). (nedefinit)
Gelashvili D.B., Iudin D.I., Rozenberg G.S., Yakimov V.N., Solntsev L.A. Fractali și multifractali în bioecologie. Nijni Novgorod: Editura Universității de Stat Nijni Novgorod, 2013. 370 p.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Mare norvegian Mare norvegian Rusă mare Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	BNF : 119730272 J9U : 987007548246005171 LCCN : sh85051147 NDL : 00576561 NKC : ph120342

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski Triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius

Modele geometrice în natură
modele	Sparge Dună Spumă Meandru Filotaxie Bule de sapun Simetrie în cristale Quasicristale în flori în biologie placare stradă vortex Val Structura Widmanstetten
Procesele	Formarea modelului Biologie Selecție naturală Mimetism selecția sexuală Matematica Teoria haosului fractal spirală logaritmică Fizică cristale Hidroaerodinamica Legile Podişului autoorganizare
Cercetători	Platon Pitagora Empedocle Fibonacci carte de abac Adolf Zeising Ernst Haeckel Podișul Iosif Wilson Bentley Darcy Thompson Despre creștere și formă Alan Turing Bazele chimice ale morfogenezei Aristide Lindenmeier Benoit Mandelbrot Cât de lungă este coasta Marii Britanii?
Articole similare	Recunoasterea formelor Matematică și Arte Plastice