Acoperire

O acoperire este o mapare surjectivă continuă a unui spațiu conectat la cale pe un spațiu conectat la cale, astfel încât orice punct are o vecinătate a cărei imagine inversă completă este uniunea zonelor disjunse pe perechi : $p:X\la Y$ $X$ $Y$ $y\în Y$ $U\subset Y$ $p^{{-1}}(U)$ $V_{k}\subset X$

p^{{-1}}(U)=V_{1}\cup V_{2}\cup \dots

în plus, pe fiecare domeniu, maparea este un homeomorfism între și . $V_{k}$ $p:\,V_{k}\la U$ $V_{k}$ $U$

Definiție formală

O mapare a unui spațiu conectat la cale pe un spațiu conectat la cale se numește acoperire dacă orice punct are o vecinătate pentru care există un homeomorfism , unde este un spațiu discret astfel încât dacă denotă o proiecție naturală, atunci $p:X\la Y$ $X$ $Y$ $y\în Y$ $U\subset Y$ $h:p^{-1}(U)\la U\times \Gamma$ $\Gamma$ $\pi:U\times \Gamma\to U$

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

Definiții înrudite

Spațiul se numește baza învelișului , iar spațiul învelișului (sau spațiu de acoperire ). $Y$ $X$
Imaginea inversă a unui punct se numește strat peste punct . $p^{{-1}}(y)$ $y\în Y$ $y$
Numărul de zone din preimaginea completă se numește numărul de foi . $V_{k}$ $p^{{-1}}(U)$
- Dacă acest număr este finit și egal cu , atunci acoperirea se numește
-sheeted . $n$ $n$

O husă se numește universală dacă pentru orice altă husă există o husă astfel încât .

p\colon {\tilde {Y}}\la Y

q\colon X\la Y

s\colon {\tilde {Y}}\la X

p=q\circ s

Exemple

Să notăm cercul unitar al planului complex . $S^{1}$ $S^{1}=\{z\in {{\mathbb C}||z|=1}\}$
- $p:{{\mathbb R}}\la S^{1}$ , . $p:x\mapsto e^{{2\pi ix}}$
- $p:S^{1}\la S^{1}$ , , unde , . $p:z\mapsto z^{k}$ $k\neq 0$ $k\în {{\mathbb Z}}$

Proprietăți

Acoperirile sunt homeomorfisme locale
Coperțile sunt un caz special de pachete triviale la nivel local . Ele pot fi considerate ca fibrații local triviale cu o fibră discretă.
Toate acoperirile duble sunt obișnuite.
Învelișul universal este obișnuit.

Legătura cu grupul fundamental

Acoperirea este de obicei considerată în ipoteza că u este conectat și , de asemenea, simplu conectat local . În aceste ipoteze, se stabilește o legătură între grupurile fundamentale și : dacă , atunci homomorfismul indus , se mapează izomorf la un subgrup în și, schimbând punctul în , se pot obține exact toate subgrupurile dintr-o clasă de subgrupuri conjugate. $X$ $Y$ $Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p(x_{0})=y_{0}$ $p:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $x_{0}$ $p^{{-1}}(y_{0})$

Dacă această clasă constă dintr-un subgrup (adică un divizor normal ), atunci acoperirea se numește regulat . În acest caz, apare o acțiune liberă a grupului pe , și se dovedește a fi o mapare a factorilor pe spațiul orbitelor . În general, acțiunile libere ale grupurilor discrete sunt sursa obișnuită a acoperirilor obișnuite (asupra spațiului orbitei, deși nu fiecare astfel de acțiuni definește o acoperire, spațiul orbitei se poate dovedi a fi inseparabil), dar acest lucru este valabil pentru grupurile finite. Această acțiune este generată prin ridicarea buclelor: dacă o buclă , , este asociată cu o cale unică pentru care și , atunci punctul va depinde numai de clasa acestei bucle în și de punctul . Astfel, un element din corespunde unei permutări de puncte în . Această permutare nu are puncte fixe și depinde continuu de punctul . Aceasta definește un homeomorfism care face naveta cu . $H$ $H$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H$ $X$ $p$ $Y$ $q:[0,1]\la Y$ $q(0)=q(1)=y_{0}$ ${\tilde q}:[0,1]\la X$ ${\tilde q}(0)=x_{0}$ $p{\tilde q}=q$ ${\tilde q}(1)$ $G$ $x_{0}$ $G$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $y_0$ $X$ $p$

În cazul general, această construcție definește doar o permutare în , adică există o acțiune asupra , numită monodromia învelișului . Un caz special al unei huse obișnuite este capacul universal pentru care sau, echivalent, X este pur și simplu conectat. $p^{{-1}}(y_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})$

În general, pentru fiecare grup , se construiește în mod unic o acoperire pentru care există o imagine . $H\subset \pi _{1}(Y,y_{0})$ $p:X\la Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $H$

Pentru orice mapare a unui spațiu conectat la cale la o ridicare la o mapare există dacă și numai dacă imaginea se află în . Există o relație de ordine parțială între acoperiri (o acoperire a unui înveliș este o acoperire), care este duală cu includerea subgrupurilor în . În special, acoperirea universală este singurul element maxim. $f$ $(Z,z_{0})$ $(Y,y_{0})$ ${\tilde f}:(Z,z_{0})\la (X,x_{0})$ $f(\pi _{1}(Z,z_{0}))$ $H$ $Y$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$

Literatură

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă. Metode și aplicații. — M.: Nauka, 1986.
Boltyansky VG , Efremovici VA Topologie vizuală . - M .: Nauka, 1982. - (Biblioteca „Quantum”, numărul 21).