Orientare (matematică)

Orientare ( direcție , rețea ) - o generalizare a conceptului de secvență utilizată în principal în topologie vă permite să generalizați conceptul de limită a unei secvențe în mod corect.

Directivitate într-un spațiu topologic este orice mapare dintr-un set ascendent direcționat în . Denumiri: sau pur și simplu . $X$ $\mathrm{A}$ $X$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $\stanga\{x_{\alpha }\dreapta\)$

Orice succesiune poate fi considerată ca o direcție, în acest caz rolul unei mulțimi dirijate este jucat de mulțimea numerelor naturale . $\mathbb {N}$

Un exemplu mai semnificativ de direcționalitate este construit folosind vecinătățile unui punct ca indici. Pentru un anumit punct al spațiului topologic, se ia în considerare familia tuturor vecinătăților sale. Relația de includere definește structura mulțimii direcționate: vecinătățile sunt ordonate ca și cum . Fiecare vecinătate este asociată cu punctul său arbitrar , o astfel de mapare este o direcționalitate. $X$ $B_{x}$ $B_{x}$ $U,V\in B_{x}$ $U\geqslant V$ $U\subset V$ $U\in B_{x}$ $x_{U}\în U$ $U\mapsto x_{U}$

Definiții înrudite

Limită de directivitate

Directivitate se numește convergență către un punct dacă pentru orice vecinătate a punctului există un indice astfel încât pentru orice . Punctul se numește limită de directivitate și este notat cu . ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $X$ $V$ $X$ $\alpha _{V}\in \mathrm {A}$ $x_{\alpha }\in V$ $\alpha \geqslant \alpha _{V}$ $X$ $\stanga\{x_{\alpha }\dreapta\)$ $x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x$

Setul tuturor limitelor direcționale este notat ca . Dacă directivitatea are exact o limită , atunci scrieți $\stanga\{x_{\alpha }\dreapta\)$ $\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha )$ $X$ $x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha )$

Dacă un spațiu topologic este Hausdorff , atunci fiecare direcție convergentă are exact o limită. Este adevărat și invers: dacă fiecare direcționalitate convergentă are exact o limită, atunci spațiul este Hausdorff.

Conceptul de limită de directivitate este strâns legat de conceptul de punct de atingere : un punct este un punct de atingere al unei mulțimi dacă și numai dacă există o directivitate a elementelor acestei mulțimi care converg către acest punct.

Subdirecție

Noțiunea de subsecvență poate fi generalizată la direcții. Orientarea se numește subdirecție ( direcționalitate mai subtilă ) de orientare dacă pentru oricare există un astfel de indice încât pentru fiecare există care să satisfacă egalitatea . ${\displaystyle \left\{y_{\beta}\right\}_{\beta \in \mathrm {B} ))$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $\alpha \in \mathrm {A}$ $\beta (\alpha )\in \mathrm {B}$ $\beta '\geqslant \beta (\alpha )$ $\alpha '\geqslant \alpha$ $x_{\alpha '}=y_{\beta ')$

Fiecare secvență are o subdirecție care nu este ea însăși o secvență.

Literatură

Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
L. V. Kantorovich și G. P. Akilov Analiza functionala. — M .: Nauka, 1984. — 752 p.