Set regizat

O mulțime direcționată este o mulțime A nevidă cu o relație tranzitivă reflexivă ≤ definită pe ea (adică o preordonare ), care are o proprietate suplimentară: orice pereche de elemente din A are o limită superioară în A .

Mulțimile direcționate sunt o generalizare a mulțimilor ordonate liniar , adică orice mulțime ordonată liniar este direcționată (pentru o mulțime ordonată parțial , acest lucru nu este în general adevărat). În topologie , mulţimile direcţionate sunt folosite pentru a defini direcţiile , care sunt o generalizare a unei secvenţe şi unifică noţiunea de limită folosită în calcul .

Exemple

Exemple de seturi dirijate:

Mulțimea numerelor naturale N cu relația standard ≤ este o mulțime direcționată.
O mulțime de N N perechi de numere naturale devine o mulțime direcționată dacă relația este definită după cum urmează: ( n 0 , n 1 ) ≤ ( m 0 , m 1 ) dacă și numai dacă n 0 ≤ m 0 și n 1 ≤ m 1 . $\times$
Setul de partiții ale intervalului în acest caz dacă partiția este o subdiviziune a . $P\leq R$ $R$ $P$
Dacă x 0 este un număr real , putem face o mulțime direcționată din R : a ≤ b dacă și numai dacă
| a − x 0 | ≥ | b − x 0 |. Acesta este un exemplu de set direcționat care nu este parțial ordonat .
Un exemplu banal de mulțime parțial ordonată care nu este direcționată este mulțimea { a , b } în care sunt definite doar relațiile a ≤ a și b ≤ b .
Dacă T este un spațiu topologic și x 0 este un punct în T , atunci putem defini o direcție pe mulțimea de vecinătăți x 0 astfel: U ≤ V dacă și numai dacă U conține V .
- Pentru toate U : U ≤ U ; întrucât U se conţine pe sine.
- Pentru toate U , V , W : dacă U ≤ V și V ≤ W , atunci U ≤ W ; întrucât dacă U conține V și V conține W , atunci U conține W .
- Pentru toate U , V : există o mulțime U V astfel încât U ≤ U V și V ≤ U V ; întrucât atât U cât şi V conţin U V . $\capac$ $\capac$ $\capac$ $\capac$
Într -un poset P , mulțimea limitelor inferioare ale unui element din P , adică o mulțime de forma { a | a din P , a ≤ x } unde x este un element fix din P , este o mulțime direcționată.

Subseturi dirijate

Relația de direcție poate să nu fie antisimetrică și, prin urmare, mulțimile direcționate nu sunt întotdeauna parțial ordonate . Cu toate acestea, termenul set direcționat este adesea folosit și în contextul mulțimilor parțial ordonate. Astfel, o submulțime A a unei mulțimi parțial ordonate ( P ,≤) se numește submulțime direcționată dacă A este nevid și pentru tot a și b din A există c din A astfel încât a ≤ c și b ≤ c . Aici relația de ordine pe elementele din A este moștenită de la P ; prin urmare reflexivitatea și tranzitivitatea nu sunt cerute în mod explicit.

Literatură

Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
L. V. Kantorovich și G. P. Akilov Analiza functionala. — M .: Nauka, 1984. — 752 p.