Geometrie descriptivă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Geometria descriptivă  este o disciplină de inginerie care reprezintă un aparat geometric bidimensional și un set de algoritmi pentru studierea proprietăților obiectelor geometrice.

Geometria practic descriptivă se limitează la studiul obiectelor din spațiul euclidian tridimensional . Datele inițiale ar trebui prezentate ca două proiecții independente. În majoritatea problemelor și algoritmilor, sunt utilizate două proiecții ortogonale pe planuri reciproc perpendiculare.

În prezent, disciplina nu are valoare practică datorită dezvoltării tehnologiei informatice și a aparatului algebrei liniare , dar este probabil indispensabilă ca componentă a educației inginerești generale în specialitățile de inginerie și construcții.

Geometria descriptivă  este o știință care studiază figurile spațiale prin proiectarea (așezarea) perpendicularelor pe aproximativ trei planuri, care sunt apoi considerate combinate între ele.

În modul obișnuit de a descrie obiectele, liniile care se extind departe de ochiul observatorului, deși sunt reprezentate, în conformitate cu modul în care ni se apar, sunt abreviate, dar această reducere este determinată de obicei de desenator cu ochiul și, deși în în anumite cazuri poate fi transmisă cu acuratețe prin fotografie, dar relația în care diferitele linii ale obiectului reprezentat au suferit contracții rămâne greu de determinat; in plus, in multe cazuri fotografia duce si la erori de perspectiva. Orice maestru, fie că este un tâmplar, un lăcătuș, un strungar, un pietrar etc., poate executa un articol comandat conform dorinței clientului numai dacă i se dă exact același articol pentru o probă, sau modelul sau designul său. desen , conform căruia dimensiunile tuturor liniilor trasate ar fi determinate cu ușurință și exactitate, chiar dacă cele care sunt îndepărtate în profunzimea imaginii și, prin urmare, sunt reprezentate ca prescurtat. Geometria descriptivă învață pregătirea unor astfel de desene în care obiectul este reprezentat aproape așa cum îl vedem și, în plus, în așa fel încât dimensiunile și aspectul real al obiectului reprezentat să poată fi determinate cu precizie din liniile trasate.

Istoria creării geometriei descriptive

În lucrarea sa clasică „Geometrie descriptive” („Geometrie descriptivă”), publicată în 1798, Gaspard Monge a dezvoltat o teorie geometrică generală care face posibilă rezolvarea diferitelor probleme stereometrice pe o foaie plană care conține proiecții ortogonale ale unui corp tridimensional [1] ] .

El a creat un model geometric abstract al spațiului real , conform căruia fiecărui punct al spațiului tridimensional îi sunt atribuite două dintre proiecțiile sale ortogonale pe planuri reciproc perpendiculare. În timp, un desen de proiecție , construit conform regulilor geometriei descriptive, devine un instrument de lucru pentru inginerii , arhitecții și tehnicienii din toate țările. [unu]

Monge a folosit în teoria sa termenii „orizontal”, „linie de proiecție orizontală” și „plan de proiecție orizontală”, precum și „verticală”, „linie de proiecție verticală” și „plan de proiecție verticală”. Prezența unor termeni stabiliți în mediul profesional, potrivit lui Monge, este un motiv suficient pentru a refuza introducerea în circulație a unei terminologii abstracte mai generale:

„În plus, din moment ce majoritatea specialiștilor care folosesc metoda proiecției. obișnuiți să se ocupe de poziția planului orizontal și direcția firului de plumb, de obicei presupun că dintre cele două planuri de proiecție, unul este orizontal și celălalt vertical .

Terminologie

Principii de bază

Imaginează-ți că în punctul O (Fig. 1) este ochiul unei persoane care privește un obiect AB. Să ne imaginăm un plan MN între ochi și obiect , situat perpendicular pe linia de-a lungul căreia privește ochiul. Să desenăm linii drepte de la O către acele puncte ale obiectului care îi caracterizează forma. Aceste linii, numite raze de proiecție , vor intersecta planul MN în diferite puncte. Mulțimea acestor puncte ab va alcătui imaginea obiectului AB , care îi servește drept imagine. Prin urmare, planul MN se numește plan imagine. Punctul de intersecție a fasciculului de proiecție și planul imaginii se numește proiecția centrală sau perspectiva acelui punct al obiectului din care provine fasciculul de proiecție dat. Acest mod de a descrie un obiect se numește perspectivă. Dacă în loc să conducem razele de proiecție din punctele obiectului către ochi, coborâm perpendicularele de la punctele obiectului spre planul imaginii, atunci imaginea rezultată, reprezentată de totalitatea bazelor acestor perpendiculare, va păstrează o oarecare similitudine cu cea de perspectivă. Într-adevăr, cu cât punctul O este îndepărtat mai mult din obiect, cu atât razele de proiecție se vor apropia de poziția reciproc paralelă și perpendiculară pe planul imaginii. O astfel de imagine se numește proiecție ortogonală. Deci, într-o proiecție ortogonală, fiecare punct al obiectului este reprezentat de baza perpendicularei, coborâtă de la aceasta în planul imaginii. Obținerea dimensiunilor reale dintr-un desen dat și alte construcții este incomparabil mai ușoară cu designul ortogonal decât cu perspectiva .

Ideea principală a geometriei descriptive este următoarea: dacă există două proiecții ortogonale ale unui obiect pe două plane, situate în moduri diferite față de obiect, atunci, folosind construcții relativ simple pe aceste două imagini, puteți obține adevăratul dimensiunile obiectului, forma adevărată a liniilor sale plate și proiecția ortogonală pe orice al treilea plan dat. Desigur, pentru aceasta este necesar să se știe la ce scară au fost date cele două proiecții ortogonale date, adică în ce aspect general a fost redus sau mărit întregul desen față de realitate. De obicei, ei stabilesc vederea unui obiect prin proiecțiile sale ortogonale pe astfel de două plane, dintre care unul este orizontal și se numește plan , iar celălalt este vertical și se numește fațadă . Ele sunt numite și planuri de proiecție orizontale și verticale. O proiecție ortogonală a unui obiect pe un plan perpendicular pe plan și fațadă se numește vedere laterală. O tehnică foarte importantă a geometriei descriptive constă în faptul că planul fațadei, vedere laterală și toate celelalte planuri pe care este proiectat obiectul sunt pliate mental pe planul planului prin rotirea în jurul liniei drepte de-a lungul căreia se intersectează planul. cu avionul fiind pliat. Această tehnică se numește potrivire. Alte construcții sunt deja realizate pe un astfel de desen combinat , așa cum este indicat mai jos. Deoarece fiecare obiect este o colecție de puncte, este mai întâi necesar să vă familiarizați cu imaginea planului și fațada punctului de pe desenul combinat.

Fie a (Fig. 2) un punct dat; P plan plan; planul Q al fațadei. Coborând perpendiculara de la a la plan, obținem planul a' al punctului a ; scăzând perpendiculara de la a la fațadă, obținem fațada b din punctul a . Perpendicularele aa' și ab se numesc linii de proiect. Planul baa' definit de liniile de proiecție se numește plan de proiecție. Este perpendiculară atât pe plan, cât și pe elevație și, prin urmare, este perpendiculară pe intersecția planului și a planurilor de elevație, numită tăietură comună. Fie a o punctul în care planul proeminent se intersectează cu tăietura comună: a o a' și a o b vor fi perpendiculare pe tăietura comună. Cu planurile date ale planului și fațadei, poziția punctului a este complet determinată de planul său a' și de fațada b , deoarece a se află la intersecția perpendicularei ridicate de la a' la planul planului, cu perpendiculara ridicată de la b la planul faţadei. Pentru a obține un desen combinat, să rotim planul Q al fațadei în direcția indicată de săgeată, lângă tăietura comună, până când acesta coincide cu planul planului. În acest caz, punctul b va cădea în a" . Astfel, punctul a" , care este o fațadă combinată a punctului a , se va așeza pe continuarea perpendicularei a'a o , coborâtă din planul a' la o tăietură comună.

Astfel, desenul combinat prezentat în Fig. 3 unde MN este slotul comun; a'  este planul și a"  este fațada combinată a punctului a , care în sine nu mai este afișat.

Geometria descriptivă se ocupă numai de desene suprapuse; fiecare punct este dat de plan și fațada combinată; desenele, umplute cu tehnici obișnuite (pe care le avem în Fig. 1, 2 și 5), se recurge la abia la începutul studiului acestei științe.

Proiecția unei linii drepte

O linie dreaptă este definită de două puncte. Prin urmare, dacă există un plan și o fațadă (combinată) din două puncte a și b situate pe o linie, atunci linia a'b' care leagă planurile punctelor a și b va fi planul liniei ab și al liniei a"b" care leaga fatadele punctelor a si b , va fi fatada liniei ab . Figura 4 prezintă linia dreaptă ab cu planul și fațada ei.

Trucuri tipice

Determinarea lungimii adevărate a unui segment de dreaptă dată prin plan și proiecție

Să folosim desenul, executat în mod obișnuit (Fig. 5).

Fie ab segmentul de dreaptă dat, a'b' planul său și "b" fațada sa. Să întoarcem planul a'abb' în jurul liniei drepte a'b' și să-l îndoim în poziția a'b'BA pe planul plan. În acest caz, segmentul ab va ocupa poziția AB. Prin urmare:

Aa' = aa' = a "a o Bb' = bb' = b "b o

Perpendicularitatea dreptelor a'a și b'b la a'b' nu s-a schimbat, prin urmare, pentru a determina lungimea sa adevărată dintr-un plan și o fațadă date a unui segment drept într-un desen combinat (Fig. 6), trebuie să: restabiliți de la a' și b' la perpendicular pe planul a'b' și să le puneți: a'A=a o a" ; b'B=b o b" .

Linia AB va fi egală cu lungimea adevărată a dreptei ab . În acest exemplu, vedem că în desenul 5, executat în mod obișnuit, linia dreaptă ab este prezentată într-o formă scurtată conform modului în care o vedem noi, iar din moment ce gradul acestei scurtări este necunoscut, este imposibil de determinat distanța reală ab de la desenul 5. Între timp, în desenul 6, deși linia ab în sine nu este prezentată, ci sunt date doar planul ei a'b' și fațada a"b" , atunci din acestea se poate determina linia pe care o reprezintă cu deplină acuratețe.

Determinarea vederii laterale a unui punct în funcție de planul și fațada acestuia

Fie a' planul şi a" faţada unui punct dat (Fig. 7), în timp ce planul vederii laterale intersectează planul planului de-a lungul liniei drepte pe şi planul faţadei de-a lungul liniei drepte om .

Când planurile planului și ale fațadei sunt combinate, om și on se vor afla pe aceeași linie dreaptă mn , perpendiculară pe MN , deoarece presupunem că planul vederii laterale este perpendicular pe planurile planului și fațadei. Combinația celor trei planuri se presupune că a avut loc după cum urmează: în primul rând, planul vederii laterale a fost combinat prin rotație în jurul om cu planul fațadei; apoi amândoi, prin rotație în jurul MN , au fost aliniați cu planul planului, care este planul desenului. Nu este greu de observat că în acest caz distanța a"s a vederii laterale a"' a punctului a de la MN va fi egală cu a o a" și distanța a'" de la om va fi egală cu a o a'. Din aceasta obținem următoarea construcție: când a' și a" , atunci desenăm perpendiculara mn pe MN și scăpăm perpendiculara a'q de la a' la acesta ; cu raza oq descriem un arc din centrul o care se intersectează MN la punctul s ; din s restabilim perpendiculara pe MN. Intersecția acestei perpendiculare cu linia trasată prin fațadă a" paralelă cu MN , și va fi vedere laterală a'" .

Definiția vederii laterale a poligonului

Dacă se dă (Fig. 8) planul și fațada laturilor poligonului și, în consecință, vârfurile acestuia, atunci, construind vederile laterale ale vârfurilor, vom obține și vedere laterală a poligonului. Cu o mulțime de puncte cu care avem de-a face în desen, este convenabil să le desemnăm cu numere.

O tehnică similară pentru construirea unei „vedere laterale” (mai precis, o proiecție de profil sau o vedere din stânga) din punctul de vedere al designerului nu permite o dispunere reușită a desenului. Pentru a asigura aceasta din urmă, utilizarea axelor de coordonate este inadecvată, deoarece limitează aspectul desenului, forțându-vă să mențineți în mod constant aceleași distanțe între vederile din față, de sus și din stânga, ceea ce este cel mai adesea nedorit. Pentru a construi un al treilea în funcție de oricare două tipuri de original, este convenabil să aranjați desenul, în loc de axele de coordonate, „bazele de referință” legate de imagini (vizualizări) vor ajuta.

Proiectarea unei casete

De obicei, ele sunt așezate într-o astfel de poziție a planurilor planului și fațadei, în care obiectul dat este proiectat pe ele printr-un desen simplu și deja în conformitate cu acest plan și fațadă construiesc o proiecție a obiectului pe un astfel de plan. pe care este înfățișat în toată complexitatea ei. Planul și fațada originală pot fi chiar alese astfel încât unele dimensiuni ale obiectului să nu fie distorsionate pe ele. Vom arăta acest lucru în următorul exemplu de imagine a unui paralelipiped (Fig. 9).

Imaginați-vă că paralelipipedul se află cu una dintre marginile sale pe planul planului, iar bazele din spate și din față sunt paralele cu planul fațadei. Apoi, aceste fundații sunt proiectate pe fațadă, suprapunându-se una pe alta (obscurându-se), dar în adevărata lor formă. Pe plan se obține o proiecție, în care se păstrează valoarea muchiilor paralele cu planul. Să rotim mental paralelipipedul în jurul unei anumite verticale și să o luăm puțin în lateral. Apoi planul lui se va întoarce după același unghi și va fi luat deoparte. Pentru a obține planul noii poziții, trasăm o linie dreaptă 1'3', care face un anumit unghi cu direcția 1 3 din planul anterior, iar pe această linie construim o figură egală cu planul anterior folosind metodele geometriei obișnuite. Vârfurile fațadei noii poziții se vor așeza pe perpendiculare coborâte de la vârfurile noului plan la o tăietură comună. În plus, acestea se vor așeza pe paralelele trasate de la vârfurile fostei fațade până la tăietura comună, deoarece în timpul deplasării menționate a paralelipipedului, vârfurile acestuia au rămas la aceeași înălțime față de planul planului. Deci, intersecțiile perpendicularelor și paralelelor menționate vor fi vârfurile noii fațade. Conectându-le împreună și înfățișând cu trăsături mai slabe liniile ascunse de paralelipiped, obținem o astfel de imagine a acestuia, în care toate cele 12 margini ale sale sunt deja vizibile. În ceea ce privește imaginea unui paralelipiped, este suficient să-i înfățișezi marginile, iar pentru imaginea unei suprafețe curbe este suficient să-i înfățișezi liniile cele mai caracteristice, între care conturul vizibil este de o importanță capitală -  curba de-a lungul căreia liniile proeminente. atingeți suprafața.

Intersecția a doi cilindri circulari

Pentru a clarifica modul în care sunt reprezentate suprafețele curbe, să luăm în considerare aplicarea geometriei H. la următoarea întrebare practică. Este necesar să se conecteze două țevi nituite din tabla de fier cazan între ele, astfel încât o țeavă, fiind perpendiculară pe cealaltă, să fie tăiată în ea cu mai mult de jumătate din grosimea sa. Pentru a face acest lucru, ar trebui să se facă o fereastră într-una dintre țevi (să spunem, în cea mai mare), ceea ce este mai convenabil, desigur, să se facă în foaia din care este făcută țeava mare, în timp ce nu este încă nituit. Este necesar să se determine forma ferestrei care trebuie tăiată în foaia folosită pentru a pregăti o țeavă mare.

Fie (Fig. 10) planul planului să fie perpendicular pe conducta mare, iar planul fațadei să fie paralel cu axele ambelor conducte. Apoi planul conductei mari va fi cercul 036 iar fațada acestuia va fi reprezentată de dreptunghiul ABCD. Planul hornului mic va fi mnpq si fatada abcd. Fie HF fațada planului diametral și plan-paralel al conductei mici. Pe nm , ca si pe diametru, descriem arcul nsm. Să luăm o generatoare h5 a unei țevi mici și să determinăm fațada acelui punct de intersecție reciprocă a țevilor care se află pe această generatoare și al cărui plan este, prin urmare, punctul 1. Fațada dorită a punctului, în primul rând, trebuie să se afle. pe o perpendiculară coborâtă pe o tăietură comună din punctul 1. În al doilea rând, se va așeza din HF la o înălțime HS egală cu hs. Deci, punctul S este fațada necesară. Prin precizarea altor generatoare și construirea fațadelor punctelor de intersecție reciprocă a țevilor se obțin un număr de puncte, a căror legătură va fi fațada intersecției țevilor. Acum să extindem semicercul 036. Această sarcină poate fi efectuată doar aproximativ. Se rezolvă cu suficientă aproximare dacă luăm lungimea unui semicerc ca sumă a laturii unui pătrat înscris și a laturii unui triunghi înscris regulat. Latura pătratului înscris va fi coarda 36 , latura triunghiului este coarda 04 , dacă numerele indică împărțirea semicercului în 6 părți. Suma acestor acorduri este trasată pe un desen special (Fig. 11) și împărțită în 6 părți. Fie PQ să corespundă planului diametral menționat al țevii mici: acesta trebuie trasat paralel cu dreapta 012... la distanța OP=AE. Restabilind de la diviziunea 1 perpendiculara pe dreapta 012... și lăsând deoparte pe aceasta de la intersecția ei cu PQ valoarea h's'=hs=HS , obținem punctul s' al curbei necesare, de-a lungul căruia trebuie tăiată fereastra în foaia MN . Obținând în același mod alte puncte ale curbei dorite, determinăm tocmai această curbă prezentată în desen (Fig. 11).

Istorie

Geometria descriptivă a fost dezvoltată de G. Monge în 1760-1770, când, ca profesor la Școala de Inginerie din Mézières, i s-a încredințat sarcina dificilă de a calcula relieful fortificațiilor.

Este strâns legată de teoria umbrelor și de metoda proiecțiilor axonometrice .

Introducere

Geometria descriptivă este una dintre disciplinele care stau la baza educației inginerești .

Subiectul geometriei descriptive este prezentarea și justificarea metodelor de reprezentare și construcție a obiectelor tridimensionale pe un plan de desen bidimensional și metode de rezolvare a problemelor de natură geometrică (desen) cu aceste imagini.

Imaginile construite după regulile geometriei descriptive permit:

Geometria descriptivă reprezintă fundamentul teoretic pentru implementarea practică a desenelor tehnice, asigurând expresivitatea și acuratețea acestora . Și, în consecință, posibilitatea de fabricație adecvată conform desenelor de piese și structuri reale.

Lungimea unui segment de linie

Un segment de linie situat în spațiu paralel cu orice plan de proiecție este proiectat pe acest plan în dimensiune reală (adică fără distorsiuni).

Lungimea unui segment de linie dreaptă conform proiecțiilor sale este definită ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic , al cărui catete este una dintre proiecțiile acestui segment , iar celălalt catete este valoarea absolută a diferenței algebrice a distanțelor de la capetele celeilalte proiecții ale segmentului la axa de proiecție .

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 Kargin D. I. Gaspard Monge și „Geometria descriptivă” a sa / Anexă la cartea lui Gaspard Monge „Geometrie descriptivă” / Traducere de V. F. Gaze Sub conducerea generală a Kravets T. P. - 1. - Leningrad, Academia de Științe a URSS, 1947. - S. 254. - 291 p.
  2. ↑ Gaspar Monge. Geometrie descriptivă / Traducere de Gaze V.F. Sub redacția generală a Kravets T.P. - 1. - Leningrad, Academia de Științe a URSS, 1947. - S. 23. - 291 p.
  3. ↑ 1 2 3 Geometrie descriptivă . CADInstructor (5 iulie 2018). Consultat la 9 noiembrie 2019. Arhivat din original pe 9 noiembrie 2019.
  4. ↑ 1 2 3 Gordon V. O., Sementsov-Ogievsky M. A. Curs de geometrie descriptivă / Editat de Ivanov Yu. B. - 23. - Moscova: Nauka, 1988. - S. 8. - 272 p.

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
În cataloagele bibliografice