Dinamica neliniară

Dinamica neliniară este o știință interdisciplinară care studiază proprietățile sistemelor dinamice neliniare . Dinamica neliniară folosește modele neliniare pentru a descrie sisteme, de obicei descrise prin ecuații diferențiale și mapări discrete. Dinamica neliniară include teoria stabilității , teoria haosului dinamic , teoria ergodică , teoria sistemelor integrabile .

Un sistem dinamic este înțeles ca un sistem de orice natură (fizic, chimic, biologic, social, economic etc.), a cărui stare se modifică (discret sau continuu) în timp. Dinamica neliniară folosește modele neliniare în studiul sistemelor, cel mai adesea ecuații diferențiale și mapări discrete.

Se obișnuiește să se numească o teorie neliniară, în care se folosesc modele matematice neliniare.

Un exemplu de sistem neliniar este un sistem care are parametrii care se schimbă periodic. În astfel de sisteme, în anumite condiții, poate apărea apariția oscilațiilor parametrice. O persoană aflată într-un leagăn, ghemuit în pozițiile extreme superioare și ridicându-se în cele inferioare, excită oscilații parametrice. În acest caz, parametrul este momentul de inerție al balansării împreună cu persoana (ca un pendul cu schimbarea poziției masei). Oscilațiile parametrice transversale ale unei tije pot fi cauzate de forțele de compresie periodice aplicate la capete. Rezonanța parametrică este periculoasă în mașini și structuri, deoarece vibrația parametrică în creștere este posibilă chiar și cu amortizare, iar rezonanța parametrică nu are loc la frecvențe discrete (de exemplu, frecvențe de rezonanță în timpul vibrațiilor forțate), ci în anumite intervale de frecvență.

Definiție

În matematică, o mapare liniară (sau funcție liniară) este o mapare care satisface următoarele două proprietăți: $f(x)$

Principiul aditivității sau suprapunerii : $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
Omogenitate sau similitudine: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

Aditivitatea implică omogenitate pentru orice număr rațional α, iar pentru funcții continue, pentru orice α real. Pentru un complex α, proprietatea de omogenitate nu rezultă din aditivitate. De exemplu, o mapare antiliniară este aditivă, dar nu omogenă. Condițiile de aditivitate și omogenitate sunt adesea combinate în principiul suprapunerii

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

ecuații ale formei

f(x)=C

se numește liniară dacă este o mapare liniară (care corespunde definiției de mai sus) și neliniară în caz contrar. O ecuație se numește omogenă dacă . $f(x)$ $C=0$

Definiția este foarte generală în sensul că poate fi orice obiect matematic semnificativ (număr, vector, funcție și așa mai departe), iar o funcție poate fi orice mapare, inclusiv operații de integrare sau diferențiere cu restricții asociate (de exemplu, condiții la limită). ). Dacă conține derivații în raport cu variabila x , atunci rezultatul este o ecuație diferențială. $f(x)=C$ $X$ $f(x)$ $f(x)$

Tipuri de comportament dinamic neliniar

Haos - valoarea sistemului nu poate fi prezisă și trecutul cunoscut, iar fluctuațiile sunt aperiodice.
Multistabilitatea este existența a două sau mai multe stări stabile.
Decăderea amplitudinii - orice oscilații prezente în sistem scad prin interacțiunea cu un alt sistem sau prin feedback-ul aceluiași sistem.
Solitonurile sunt un singur val, care se autoamplifica.

Ecuații algebrice neliniare

Ecuațiile algebrice neliniare, numite și ecuații polinomiale, sunt definite ca o ecuație cu polinoame (polinoame) setate la zero. De exemplu

x^{2}+x-1=0\,.

Pentru o ecuație algebrică simplă, există algoritmi pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații care vă permit să găsiți o soluție la aceste ecuații (adică un set de valori care pot fi înlocuite în ecuație în loc de variabile care va satisface această ecuație). Cu toate acestea, sistemele de ecuații sunt mai complexe; ele sunt studiate în domeniul geometriei algebrice, care este o ramură destul de complexă a matematicii moderne. Uneori este chiar destul de dificil să se determine dacă un sistem algebric are rădăcini complexe (vezi teorema nulă a lui Hilbert ). Totuși, în cazul în care sistemele au un număr finit de soluții complexe, astfel de sisteme de ecuații algebrice sunt bine studiate și există metode eficiente pentru rezolvarea lor [1] .

Ecuații diferențiale neliniare

Un sistem de ecuații diferențiale se spune a fi neliniar dacă nu este un sistem liniar. Problemele care necesită dezvoltarea ecuațiilor diferențiale neliniare sunt foarte diverse, iar metodele de rezolvare sau analiză depind de aceasta. Exemple de ecuații diferențiale neliniare sunt ecuația Navier-Stokes în hidrodinamică și ecuațiile Lotka-Volterra în biologie.

Una dintre dificultățile problemelor neliniare este că, în cazul general, este imposibil să combinați soluții cunoscute pentru a construi soluții noi. În problemele liniare, de exemplu, o familie de soluții liniar independente poate fi utilizată pentru a construi soluții generale folosind principiul suprapunerii. Un bun exemplu în acest sens este problema distribuției temperaturii unidimensionale cu condițiile la limită Dirichlet impuse, care poate fi rezolvată ca o combinație liniară dependentă de timp de sinusoide de diferite frecvențe; acest lucru face ca soluția să fie foarte flexibilă. De asemenea, este posibil să se găsească niște soluții foarte specifice pentru ecuații neliniare, dar absența principiului de suprapunere nu permite construirea de noi soluții.

Ecuații diferențiale obișnuite

Ecuațiile diferențiale obișnuite de ordinul întâi sunt rezolvate de obicei prin metoda separării variabilelor, mai ales în cazul ecuațiilor autonome. De exemplu, ecuația neliniară

{\frac {du}{dx}}=-u^{2}

are o soluție generală (și de asemenea u = 0 ca soluție parțială, corespunde limitei soluției generale la care C tinde spre infinit). Ecuația este neliniară deoarece este scrisă ca $u={\frac {1}{x+C})$

{\frac {du}{dx}}+u^{2}=0

partea stângă a ecuației nu este o funcție liniară a lui u și a derivatelor sale. Dacă termenul u 2 ar fi înlocuit cu u , atunci problema ar fi liniară (problema dezintegrarii exponențiale).

Ecuațiile diferențiale obișnuite de ordinul doi și de ordinul superior (într-un caz mai general, sistemele de ecuații neliniare) au rareori soluții de formă închisă, deși există posibile soluții exacte și soluții care folosesc integrale neelementare.

Metodele comune de analiză pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale neliniare obișnuite includ:

Studiul oricăror mărimi conservatoare, în special în sistemele hamiltoniene
Studiul mărimilor disipative (vezi funcția Lyapunov ) este similar cu mărimile conservative
Linearizare cu expansiune Taylor
Schimbarea variabilelor pentru a obține o formă mai ușor de învățat
teoria bifurcației
Metode ale teoriei perturbațiilor (pot fi aplicate și ecuațiilor algebrice)

Pendul

O problemă neliniară clasică, studiată pe scară largă este dinamica unui pendul sub influența gravitației. Folosind mecanica Lagrange, se poate arăta [2] că mișcarea pendulului poate fi descrisă folosind ecuația neliniară adimensională

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0

unde forța gravitațională este „în jos” și este unghiul pe care pendulul îl formează cu starea sa inițială de repaus, așa cum se arată în figura din dreapta. O abordare pentru „rezolvarea” acestei ecuații este utilizarea ca factor de integrare , care va da următorul rezultat: $\theta$ $d\theta /dt$

\int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}

care este soluția necondiționată care folosește integrala eliptică. Această „soluție” are de obicei puține aplicații, deoarece într-o măsură mai mare partea acestei soluții este ascunsă într-o integrală nu foarte elementară (cu excepția cazului ). $C_{0}=2$

O altă abordare pentru rezolvarea acestei probleme este de a face neliniaritatea liniară (în acest caz o funcție sinus) folosind o serie Taylor în diferite puncte de interes. De exemplu, liniarizarea în punctul , care se numește aproximare cu unghi mic, este: $\theta=0$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2)}}+\theta =0

deoarece pentru . Aceasta este o oscilație armonică simplă, corespunzătoare oscilațiilor pendulului în vecinătatea punctului cel mai de jos al traseului său. Un alt punct de liniarizare va fi , care corespunde unui pendul în poziție verticală: $\sin(\theta)\aprox \theta$ $\theta \aproximativ 0$ $\theta =\pi$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2)}}+\pi -\theta =0

deoarece pentru . Rezolvarea problemei implică utilizarea sinusoidelor hiperbolice și, spre deosebire de aproximarea cu unghi mic, această aproximare este stabilă, ceea ce înseamnă că va crește în general la nesfârșit, deși pot exista soluții limitate. Aceasta corespunde cu dificultatea de a echilibra pendulul într-o poziție verticală, care este de fapt o stare instabilă. $\sin(\theta)\aprox \pi -\theta$ $\theta \aprox \pi$ $|\theta |$

O altă liniarizare interesantă este posibilă în jurul punctului în jurul căruia : $\theta =\pi /2$ $\sin(\theta)\aprox 1$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.

Aceasta corespunde problemei căderii libere. O reprezentare foarte vizuală a dinamicii unui pendul poate fi dată prin adunarea acestor exemple de liniarizare, așa cum se arată în figura din dreapta. Există și alte tehnici care permit să găsești portrete de fază (exacte) și perioade de oscilație aproximative.

Literatură

Malinetsky GG, Potapov AB Probleme moderne de dinamică neliniară. — M.: Editorial URSS, 2000. — 326 p.
Danilov Yu. A. Prelegeri despre dinamica neliniară. — M.: Postmarket, 2001. — 184 p.
Tabor M. Haos și integrabilitate în dinamica neliniară. — M.: Editorial URSS, 2001. — 318 p.

Vezi și

Note

↑ Lazard, D. Treizeci de ani de rezolvare a sistemului polinomial și acum? (engleză) // Journal of Symbolic Computation : jurnal. - 2009. - Vol. 44 , nr. 3 . - P. 222-231 . - doi : 10.1016/j.jsc.2008.03.004 .
↑ David Tong: Prelegeri despre dinamica clasică . Preluat la 3 octombrie 2019. Arhivat din original la 14 aprilie 2021. (nedefinit)

Link -uri

Biblioteca electronică despre dinamica neliniară
Jurnalul de dinamică neliniară
Journal of Applied Nonlinear Dynamics (Revista de dinamică neliniară aplicată)
Jurnalul „Noutățile instituțiilor de învățământ superior. Dinamica neliniară aplicată»