Inegalitatea Episcop-Gromov

Inegalitatea Bishop-Gromov este o teoremă de comparație în geometria riemanniană . Este afirmația cheie în demonstrarea teoremei de compactitate a lui Gromov [1] .

Inegalitatea poartă numele lui Richard Bishop și Mihail Gromov .

Formulare

Fie o varietate Riemanniană n -dimensională completă cu curbura Ricci mărginită mai jos , i.e. $M$

\mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K

pentru constantă . $K\in \mathbb {R}$

Se notează printr-o bilă de rază r în jurul unui punct p , definit în raport cu funcția distanță riemanniană . $B(p,r)_{M)$

Să notăm spațiul model n - dimensional. Adică , un spațiu complet n - dimensional simplu conectat cu curbură secțională constantă . În acest fel, $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $K$

$\mathbb {M} ^{n}(K)$ este o n - sferă de rază dacă , sau $1/{\sqrt {K}}$ $K>0$
n - spațiu euclidian dimensional dacă , sau $K=0$
Lobachevsky spațiu cu curbură . $K<0$

Apoi pentru orice și funcția $p\în M$ ${\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)$

\phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M)}{\operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\ mathbb {M} ^{n}(K)}}}

nu creste in interval . $(0,\infty )$

Note

Pentru , inegalitatea poate fi scrisă după cum urmează $K=0$ $\operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M)$

la .

\lambda \geqslant 1

Dacă r tinde spre zero, atunci raportul se apropie de unu, deci împreună cu monotonitatea, aceasta înseamnă că $\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\mathbb {M} ^{n}(K )}.$

Această versiune a fost dovedită pentru prima dată de Bishop [2] [3] .

Vezi și

Teorema lui Myers

Note

↑ Yu. D. Burago , V. A. Zalgaller , Introduction to Riemannian geometry 1991, p. 320, (22,5)
↑ Bishop, R. O relație între volum, curbură medie și diametru. amer. Matematică. soc. Nu. 10 (1963), p. 364.
↑ Bishop RL, Crittenden RJ Geometria varietăților, Corolarul 4, p. 256