Inegalitatea Cauci-Bunyakovsky

Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky conectează norma și produsul scalar al vectorilor din spațiul euclidian sau Hilbert . Această inegalitate este echivalentă cu inegalitatea triunghiului pentru normă. Un caz special al inegalității lui Hölder și inegalității lui Jensen [1] .

Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky este uneori numită, mai ales în literatura străină, inegalitatea Schwartz și inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz , deși lucrările lui Schwartz pe această temă au apărut la numai 25 de ani după lucrările lui Bunyakovsky [2] . Cazul cu dimensiuni finite al acestei inegalități se numește inegalitatea Cauchy și a fost dovedit de Cauchy în 1821 .

Formulare

Să fie dat un spațiu liniar cu produs scalar . Fie norma generată de produsul scalar, adică . Atunci pentru oricare avem: $L$ $\langle x,\;y\rangle$ $\|x\|$ $\|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L$ $x,\;y\în L$

|\langle x,\;y\rangle| \leqslant\|x\|\cdot\|y\|,

în plus, egalitatea se realizează dacă și numai dacă vectorii și sunt dependenți liniar ( coliniari , sau există zero între ei). $X$ $y$

Exemple

Un caz special important, adesea folosit în teoria numerelor, este cazul când unul dintre vectori este format în întregime din:

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1 }^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1} ^{n}{{x_{i}}^{2}}

În spațiul secvențelor pătrate sumabile cu valori complexe , inegalitatea Cauci-Bunyakovsky are forma: $l^2$

\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right) \cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),

unde denotă conjugarea complexă . $\bar{y}_k$ $y_{k}$

În spațiul funcțiilor complexe integrabile în pătrat , inegalitatea Cauci-Bunyakovsky are forma: $L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$

\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right| ^2\,\mu(dx)\right)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).

În spațiul variabilelor aleatoare cu un al doilea moment finit , inegalitatea Cauci-Bunyakovsky are forma: $L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$ $\mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],$

unde este covarianța și este varianța .

\mathrm{cov}

\mathrm{D}

Pentru două variabile aleatoare independente și inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky are forma: $\xi$ $\eta$ $\left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \left[\eta ^{2}\cdot \xi ^{2} \right]=\mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.$

Metode de probă

Există doar câteva abordări esențial diferite pentru a demonstra inegalitatea. Cu toate acestea, datorită universalității sale, aceleași operațiuni formale care duc la aceasta pot fi descrise în termeni diferiți. Din această cauză, unii autori prezintă inegalitatea ca având o cantitate extrem de mare de dovezi. [3]

Pentru comoditatea prezentării, în această secțiune, dacă nu se indică altfel, dovezile sunt descrise numai pentru un spațiu de dimensiune finită peste , adică pentru secvențe finite , . $\mathbb {R}$ $(x_{1},\dots,x_{n})$ $(y_{1},\dots, y_{n})$

Combinatorie (prin inegalitate de permutare )

Cazul cu un singur vector

Lasă . Extinderea pătratului și înlocuirea , pătratul sumei poate fi împărțit în blocuri după cum urmează: $y_{1}=\dots =y_{n}=1$ $t=ij$

{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i)}}\right)}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{ n}\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=\sum \limits _{t=0}^{n-1}{\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j+t}}}\right)}\ ,

unde notatiile corespund cu . Din inegalitatea de permutare pentru două copii ale unei secvențe și permutări $x_{n+1},x_{n+2},\dots$ $x_{1},x_{2},\dots$ $(x_{1},\dots,x_{n})$

\sigma _{t}(j):=((t+j-1)\mod {n})+1,\\\t=0,\dots ,n-1

rezultă că fiecare dintre sumele interne nu depăşeşte . $\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2))$

Caz general

Dacă toate sunt numere întregi, atunci, extinzând produsele și aplicând cazul special deja dovedit pentru termenii rezultați, obținem $y_{i}$ $x_{i}y_{i}=\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}$ $\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i)}$

\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}\right)^{2}=\left(\sum \limits _{i=1 }^{n}{\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i =1}^{n}{y_{i))}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}^{2}+\dots +x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right )\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ ,

Împărțind ambele părți la numere întregi, se poate obține aceeași inegalitate pentru cele raționale , iar generalizarea pentru cele reale arbitrare rezultă din continuitatea adunării și înmulțirii . Această afirmație corespunde exact inegalității Cauchy-Bunyakovsky pentru secvențe $y_{i}$ $y_{i}$

{x'}_{i}:=x_{i}{\sqrt {y_{i)))

{y'}_{i}:={\sqrt {y_{i)}}

Prin urmare, inegalitatea pentru arbitrary , rezultă din posibilitatea substituției inverse $({x'}_{i})_{i=1}^{n)$ $({y'}_{i})_{i=1}^{n}$

x_{i}:={\frac {{x'}_{i}}{{y'}_{i}}}

y_{i}:={y'}_{i}^{2}

Probabilistică (prin suma pătratelor)

Idee (pe exemplul de varianță)

Cea mai cunoscută implementare a acestei metode este luarea în considerare a varianței unei variabile aleatoare . Evident, dacă valoarea ia valori nenegative, atunci așteptările ei matematice vor fi, de asemenea, nenegative, prin urmare

\mathbb {E} \left[{({X-\mathbb {E} [X]})^{2}}\right]\geq 0

pentru orice variabilă aleatoare . Datorită liniarității așteptării matematice, rezultă că $X$

0\leq \mathbb {E} \left[{(X-\mathbb {E} [X])^{2}}\right]=\mathbb {E} \left[{X^{2} -2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X] \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}

Lasă totul și . Pentru o variabilă aleatoare care ia o valoare cu probabilitate , această inegalitate înseamnă că $y_{i}>0$ $B:=\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}$ $X$ $x_{i}$ ${\frac {y_{i}}{B}}$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}{\frac {y_{i}}{B}}}}\right)^{2}=\ mathbb {E} [X]^{2}\leq \mathbb {E} [X^{2}]=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{ \frac {y_{i}}{B}}}\ ,

acesta este

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i)}}\right)\leq B\sum \limits _{i=1}^{ n}{x_{i}^{2}y_{i}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\ suma \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ .

Prin urmare, inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky poate fi obținută prin aceeași modificare a variabilelor ca și în cazul utilizării inegalității de permutare.

Interpretare și forme alternative

După schimbarea variabilelor, așteptarea matematică a mărimii descrise mai sus va avea forma

\mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{n}({\frac {x_{i}}{y_{i}}}\cdot {\frac {y_ {i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

Prin urmare, demonstrația probabilistă, în esență, ia în considerare suma

\sum \limits _{i=1}^{n}{\left(({\frac {x_{i}}{y_{i}}}-\sum \limits _{j=1}^ {n}{\left({{\frac {x_{j}}{y_{j}}}\cdot {\frac {y_{j}^{2}}{\sum \limits _{k=1} ^{n}{y_{k}^{2}}}}}\right)}}\right)^{2}{\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j =1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

Din nenegativitatea evidentă (datorită pătrarii parantezei) a acestei sume se derivă relația dintre termenii obținuți prin deschiderea parantezei - doi din cei trei astfel de termeni se reduc într-un singur (se deosebesc doar printr-o constantă) datorită structura formulei. Prin modificarea normalizării (împărțirea la sume) prin introducerea de factori între paranteze și înmulțirea unei constante, este ușor de observat că această abordare este similară cu utilizarea unei sume mai vizuale.

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{ j}y_{j))))-{\frac {y_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\right) }^{2}}\ .

Inegalitățile cu astfel de sume, scrise fără referire la definiții probabilistice, rămân corecte fără condiția din secțiunea anterioară. În special, pentru un spațiu Hilbert arbitrar, așa cum putem considera inegalitatea $y_{i}>0$ $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {R}$

0\leq \left\vert \left\vert {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{||x||^{2}}}x}\right\vert \ dreapta\vert ^{2}\leq \left\langle {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x,y-{\frac { \langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x}\right\rangle =\langle {y,y}\rangle -2{\frac {\langle {x,y} }\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}\langle {x,y}\rangle +{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x, x}\rangle ^{2))}\langle {x,x}\rangle =\langle {y,y}\rangle -{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2)){\ langle {x,x}\rangle }}\ ,

iar când este suficient să înmulțim cu un număr complex al formei pentru a reduce totul la primul caz. $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ $X$ $e^{\varphi i},\varphi \in \mathbb {R}$

În mod similar, puteți folosi o altă sumă, simetrică, unde după deschiderea parantezelor se anulează cei doi termeni extremi (obținuți prin pătrare), și nu extremul cu cel central:

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n} {x_{j}^{2}}}}}-{\frac {y_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2} }}}}}}\dreapta)}^{2}}\ .

sau, care este la fel,

\left\vert \left\vert {{\frac {x}{||x||}}-{\frac {y}{||y||}}}\right\vert \right\vert ^{2}\ .

Pe lângă interpretarea probabilistică, utilizarea unor astfel de sume poate fi descrisă printr-o estimare a discriminantului unei ecuații pătratice sau o inegalitate între media geometrică și media aritmetică . [patru]

Direct (prin factori de grupare)

O altă idee (cu toate acestea, care necesită instrumentele celor două anterioare) este aceea de a reprezenta inegalitatea în formă

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^ {n}{x_{j}y_{j}}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{ i}y_{j})(x_{j}y_{i})}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{( x_{i}y_{j})^{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}\right)\left( {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2))}\right)\ .

Această formă poate fi dovedită în două moduri:

compararea tuturor termenilor într-un singur pas, aplicarea inegalității de permutare pentru două copii ale mulțimii și permutarea [5] ; $(x_{i}y_{j})_{(i,j)\in [1;n]^{2))$ $\sigma (i,j):=(j,i)$

comparând fiecare termen separat, aplicând inegalitatea dintre media geometrică și media aritmetică pentru două variabile , ceea ce corespunde în esență cu luarea în considerare a sumei pătratelor de forma sau normă a vectorului corespunzător în produsul tensor al spațiilor Hilbert arbitrare. [6] $a=x_{i}y_{j},\b=x_{j}y_{i)$ $\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i} )^{2}}$

Aplicarea cazului n=2 la sume

Inegalitatea poate fi obținută prin inducție, pasul căruia se trece de la al -lea termen este aplicarea aceleiași inegalități pentru doi termeni. Ipoteza inductivă pentru secvențe dă inegalitatea $n$ $(n+1)$ $(x_{i})_{i=1}^{n)$ $(y_{i})_{i=1}^{n}$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {roșu}{x_{i}}\color {albastru}{y_{i}}}}\right)+ x_{n+1}y_{n+1}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {roșu}{x_{i}}^{2}}} \right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {albastru}{y_{i}}^{2}}} \right)^{\frac {1}{2}}+x_{n+1}y_{n+1}

Și din cazul secvențelor , este ușor de văzut asta $n=2$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2 }},x_{n+1}}\dreapta)$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2 }},y_{n+1}}\dreapta)$

{\color {roșu}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1 }{2)))){\color {albastru}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{ \frac {1}{2))))+{\culoare {roșu}{x_{n+1}}\culoare {albastru}{y_{n+1}}}\leq \left({{\culoare { roșu}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\ culoare {negru}{\cdot 2}}}}+{\culoare {roșu}{x_{n+1}}^{2}}}\dreapta)\stânga(({\culoare {albastru}{\left( {\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {negru}{\ cdot 2))))+{\color {albastru}{y_{n+1}}^{2}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1 }{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{y_{i}^{2}}}\right)

Astfel, inegalitatea este dovedită pentru arbitrar prin inducție cu baza . Baza poate fi demonstrată în oricare dintre celelalte moduri (de exemplu, printr-o inegalitate ). [7] Există , de asemenea, dovezi geometrice vizuale pentru. [8] [9] $n$ $n=2$ $(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0$ $n=2$

Literatură

Hui-Hua Wu, Shanhe Wu. Diferite dovezi ale inegalității Cauchy-Schwarz // Revista de matematică Octogon. - 2009. - Vol. 17 , iss. 1 . — P. 221–229 .

Note

↑ Vezi dovada 11 din Wu, 2009
↑ Bounjakowsky W. „Mémoires de l'Académie des sciences de St-Petersbourg. seria 7”, 1859, or. 1, nr 9.
↑ Wu, 2009 .
↑ Vezi dovezile 2 (pentru ), 5 în Wu, 2009 pentru prima sumă și dovezile 3, 4, 8 ibid. pentru a doua. $x={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i)}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{ a_{i}^{2}}}}}$
↑ Vezi dovada 7 din Wu, 2009 .
↑ A se vedea dovezile 1, 6 (pentru cazul ) și 12 (după extinderea inducției, adică însumarea diferitelor ) în Wu, 2009 . $n=2$ $S_{n+1}-S_{n}$
↑ Vezi dovada 6 din Wu, 2009 .
↑ Prezentare generală a dovezilor pentru inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky Arhivată 25 august 2021 la Wayback Machine , (vezi dovezile geometrice pentru la pp. 15-18) $n=2$
↑ Demonstrarea interactivă a dovezii geometrice . Preluat la 25 august 2021. Arhivat din original la 25 august 2021. (nedefinit)