Inegalitatea lui Jensen

Inegalitatea lui Jensen este o inegalitate introdusă de Johann Jensen și strâns legată de definiția unei funcții convexe .

Formulări

Sfârșit caz

Fie ca funcția să fie convexă pe un anumit interval și numerele să fie astfel încât $f\stânga(x\dreapta)$ ${\mathcal X}$ $\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$

\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0

și .

\ q_{{1}}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1

Atunci, oricare ar fi numerele din intervalul , următoarea inegalitate este adevărată: $\ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ${\mathcal X}$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2} f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})

f\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}q_ {i}f(x_{i})

Note:

Dacă funcția este concavă (convexă în sus), atunci semnul inegalității este inversat. $\f(x)$
Johann Jensen însuși a plecat dintr-o relație mai particulară, și anume

f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2} }

, corespunde cazului .

q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2))

Dovada

Demonstrarea se realizează prin metoda inducției matematice .

Căci inegalitatea rezultă din definiția unei funcții convexe . $\n=2$
Să presupunem că este adevărat pentru un număr natural , vom demonstra că este adevărat pentru , adică $\n$ $\n+1$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}})\ leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{{n+1}}f( x_{{n+1}})

În acest scop, înlocuim suma ultimilor doi termeni din stânga cu un singur termen $\ q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}}$

(q_{n}+q_{{n+1)))\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\ frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{{n+1}}\dreapta)

;

aceasta va face posibilă utilizarea inegalității pentru și stabilirea faptului că expresia de mai sus nu depășește suma $\n$

q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{{n+1)))f\left({\frac { q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+ 1 }}}}x_{{n+1}}\dreapta)

Rămâne doar de aplicat valorii funcției din ultimul termen inegalitatea pentru . Astfel, prin metoda inducției matematice, inegalitatea lui Jensen este complet dovedită. $\n=2$

Interpretare geometrică

Un punct este combinația convexă corespunzătoare de puncte . Este evident din definiția unei funcții convexe că învelișul convex al acestui set de puncte va coincide cu mulțimea în sine. Aceasta înseamnă că din proprietățile unei combinații convexe rezultă că punctul format se va afla în interiorul poligonului construit pe punctele enumerate în ordinea indicată (dacă îl conectăm pe ultimul cu primul). $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \dots, (x_n, f(x_n))$

Este evident din punct de vedere geometric că în acest caz punctul se va afla deasupra uneia dintre liniile formei . Dar pentru o funcție convexă, prin definiție, o astfel de linie dreaptă se află deasupra graficului funcției. Aceasta înseamnă că punctul se află deasupra acestui grafic, ceea ce înseamnă că . $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_i;f(x_i))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))$ $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $f(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i}) \le \sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)}$

Formulare integrală

Pentru o funcție convexă și o funcție integrabilă , inegalitatea $\varphi \left(x\dreapta)$ $f\stânga(x\dreapta)$

\varphi \left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{ba}} \int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.

Formulare probabilistică

Fie un spațiu de probabilitate și o variabilă aleatoare definită pe acesta . Fie, de asemenea , o funcție Borel convexă (în jos) . Atunci dacă , atunci $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi ({\mathbb {E}}[X])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)]

unde înseamnă așteptări matematice . ${\mathbb {E}}[\cdot ]$

Inegalitatea lui Jensen pentru așteptarea condiționată

Fie, pe lângă ipotezele enumerate mai sus, o sub-σ-algebră a evenimentelor . Apoi ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$

\varphi ({\mathbb {E}}[X|{\mathcal {G}}])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)|{\mathcal {G}}]

unde denotă așteptarea condiționată față de σ-algebra . ${\mathbb {E}}[\cdot |{\mathcal {G}}]$ ${\mathcal {G}}$

Cazuri speciale

Inegalitatea lui Hölder

Fie , unde (o funcție convexă). Avem $\f(x)=x^{k}$ $\x>0,$ $\k>1$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{{i=1}}^{ {n}}{q_{i}x_{i}^{k}}

, și

\ q_{1},\ldots ,q_{n}>0

\ q_{1}+\ldots +q_{n}=1

Să notăm , unde sunt numere pozitive arbitrare, atunci inegalitatea se va scrie sub forma $\ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}$ $\p_{1},\ldots ,p_{n}$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum _{{i=1} }^{{n}}{p_{i}}\right)^{{k-1}}\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}^ {k}}

Înlocuind aici cu și cu , obținem binecunoscuta inegalitate Hölder : $\p_{i}$ $\ b_{i}^{{{\frac {k}{k-1))))$ $\x_{i}$ ${\frac {a_{i}}{b_{i}^{{{\frac {1}{k-1}}}}}}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{ i}}^{k}\right)^{{\frac {1}{k}}}\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{b_{i}}^{ {{\frac {k}{k-1}}}}\dreapta)^{{\frac {k-1}{k}}}

Inegalitatea lui Cauchy

Let (funcție concavă). Avem $\f(x)=\ln x$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{{i=1}}^{{n} }{q_{i}x_{i}}\dreapta)

, sau , potențarea obținem .

\ln \prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \ln \sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}

\prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{ q_{i}x_{i}}

În special, când obținem inegalitatea Cauchy ( media geometrică nu depășește media aritmetică ) $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\sqrt[ {n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}

Inegalitatea dintre media armonică și media geometrică

Fie (o funcție convexă). Avem $\ f(x)=x\ln x$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}

. Punerea și potențarea, obținem

q_{i}={\frac {{\frac {1}{x_{i)))){\sum _{{i=1}}^{{n}}{{\frac {1}{x_{ eu}}}}}}

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n)))}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}

( media armonică nu depășește media geometrică )

Inegalitatea dintre media armonică și media aritmetică

Fie (o funcție convexă). Avem $\ f(x)={\frac {1}{x}}$ ${\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{ n}}{{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}$

În special, pentru că obținem că media armonică nu depășește media aritmetică : $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq {\frac {x_{1}+ \ldots +x_{n}}{n}}

Vezi și

Literatură

Zorich V. A. Ch. V. Calcul diferenţial // Analiză matematică. Partea I. - Ed. a VI-a. - M. : MTSNMO , 2012. - S. 289-290. - 2000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-892-5 .
Fikhtengolts G. M. Ch. IV. Investigarea functiilor cu ajutorul derivatelor // Curs de calcul diferential si integral. - Ed. a 8-a. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 1. - S. 336-337. - 5000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0156-0 .