Inegalitățile Plünnecke-Rouge sunt o lemă clasică în combinatoria aditivă . Descrie restricții asupra sumelor multiple de seturi sub restricții cunoscute asupra sumelor scurte similare. De exemplu, restricții pe cu restricții cunoscute pe .
Demonstrațiile inegalităților Plünnecke-Rouge, de regulă, nu folosesc structura mulțimii comune căreia îi aparțin și , ci folosesc doar axiomele generale ale operației de grup , ceea ce le face adevărate pentru grupuri arbitrare (în special, pentru seturi de numere naturale și reale , precum și resturile de diviziune pentru un număr dat )
Numit după matematicianul german H. Plünnecke [1] și matematicianul maghiar Imre Rouge . [2]
Se folosește următoarea notație
Să fie un grup abelian , . Apoi rezultă din |
Dacă , atunci .
Lema este dovedită prin inducerea mărimii . Căci afirmația este evidentă. Mai mult, pentru unii notăm . Prin ipoteza inducției, .
Să luăm în considerare un set . Dacă , atunci . In caz contrar
Și, prin definiție ,
Derivarea teoremei din lemă
Alegem o submulțime care satisface cerințele lemei. Apoi, conform lemei pentru ,
În continuare, folosim inegalitatea triunghiului Rouge .
Pentru orice există astfel încât dacă este un grup , , atunci rezultă din |
Dacă , atunci .
Această afirmație decurge direct din inegalitatea triunghiului Rouge
Lema 2Dacă , atunci rezultă din faptul că există astfel încât și .
Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare mulțimea elementelor care au cel puțin reprezentări în forma . Numărul total de perechi poate fi estimat de sus ca , deci .
Mai mult, dacă funcția este definită ca , atunci pentru orice imagine a formei există cel puțin diferite imagini inverse ale formei corespunzătoare diferitelor reprezentări ale lui . Este important să luăm în considerare doar o astfel de aranjare a termenilor în preimagine, deoarece toate perechile sunt în mod evident aceleași prin definiție.
Deoarece fiecare element al are cel puțin preimagini diferite, atunci
Derivarea inegalității din leme
Pentru date, se consideră mulțimea obținută în Lema 2 și se notează pentru Lema 1 . Apoi, după Lema 1,
.
Ultima inegalitate este adevărată, deoarece pentru .
Deci, și, repetând aceeași procedură pentru în loc de , putem obține , și în general
.
Mijloace,
Fie un grup abelian , , . Apoi , există o submulțime nevid , astfel încât [2] [6] [7] |
Dacă , atunci
Dacă , atunci
Prin urmare, dacă ordinea de creștere pentru și este cunoscută pentru creșterea lui , atunci
Inegalitatea Plünnecke-Rouge este folosită pentru a demonstra teorema produsului sumă