Teorema sumă-produs

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 6 aprilie 2020; verificările necesită 25 de modificări .

Teorema produsului sumă este o teoremă de combinatorie aritmetică care stabilește nestructurarea oricărei mulțimi suficient de mare în raport cu cel puțin una dintre operațiile de câmp (adunare și înmulțire). Ca indicator de structurare se folosesc marimile setului de sume , respectiv setului de produse.

Formulare

Fie un subset al unui inel (de obicei un câmp , dar formal poate fi luat în considerare și un inel) cu operații și . Se consideră două derivate ale mulțimii: $A\subset {\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$ $+$ $\cdot$ $A$

A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

Dacă mulțimea este structurată în funcție de adunare (de exemplu, are multe progresii aritmetice sau progresii aritmetice generalizate sau piesele lor mari), atunci mulțimea va fi relativ mică - la urma urmei, sumele multor perechi de elemente vor coincide . $A$ $A+A$

Dacă este structurat în funcție de înmulțire, atunci mulțimea nu va fi foarte mare , din motive similare. $A$ $A\times A$

Teorema afirmă că cel puțin una dintre mulțimi și este foarte mare în raport cu , adică în raport cu cel puțin una dintre operații, structura va fi neregulată. $A+A$ $A\times A$ $A$

Mai precis, teorema stabilește o creștere a legii puterii în dimensiunea celei mai mari dintre mulțimile derivate în raport cu dimensiunea originalului:

Teorema

Pentru o mulțime constantă și arbitrară (pentru una finită , cu restricții asupra mărimii), este adevărat că $\delta =\delta ({\mathbb {F} })>0$ $A\subset {\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{1+\delta }

Pentru diferite inele, este posibil să se obțină estimări cu diferite . De asemenea, pentru unele (în special pentru inele finite ), este posibil să se adauge condiții cu privire la dimensiunea mulțimii în care teorema este valabilă pentru data dată . $\delta$ $A$ $\delta$

Carcase marginale

Cele mai convenabile pentru studiu sunt cazurile extreme ale ipotezei:

câteva sume, multe produse (FSMP) : dacă atunci [1] $|A+A|\ll |A|$ ${\displaystyle |AA|\geq |A|^{2-o(1)))$

puţine produse, multe sume (FPMS) : dacă , atunci [2] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |A+A|\geq |A|^{2-o(1)))$

Exemple

Exemplele clasice pentru ilustrarea teoremei produsului sumă sunt progresia aritmetică și progresia geometrică . $A=\left\lbrace {1,\dots ,n}\right\rbrace$ $B=\left\lbrace {1,2,4,\dots ,2^{n-1}}\right\rbrace$

O progresie aritmetică este ordonată maxim în raport cu adunarea, deci , totuși, din numerele sale pot fi făcute multe produse diferite, deci [3] , deci în ceea ce privește înmulțirea este complet dezordonată. $|A+A|<2|A|$ $|A\times A|=\Omega \left({\frac {|A|^{2}}{\log |A|}}\right)$

La fel, pentru o progresie geometrică, , dar este evident (dacă avem în vedere reprezentarea binară a numerelor) că . $|B\times B|<2|B|$ $|B+B|=\Omega (|B|^{2})$

Rezultate

Pentru numere reale

Când teorema produsului sumă este uneori numită și teorema Erdős-Szemeredi , deoarece ei au fost cei care în 1983 au ridicat problema luării în considerare a raportului dintre numerele de sume și produse. În aceeași lucrare, ei au prezentat ipoteza că valoarea poate fi în mod arbitrar apropiată de unitate (adică ). Totuși, în același articol ei au prezentat mai multe ipoteze, în special una similară pentru termeni și mulțimi: . ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $\varepsilon$ $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{2-o(1))$ $k$ $\max \left\lbrace {|A+\dots +A|,|A\times \dots \times A|}\right\rbrace >|A|^{ko(1))$

Cronologia îmbunătățirii evaluării $\delta$ $\max\{\|A+A\|,\|AA\|\}\geq \|A\|^{1+\delta -o(1)},\ A\subset {\mathbb {R} )$
An	Sens $\delta$	Autorii)
1983	$1/31$ ()(*)	Erdős , Szemeredy [4] $1+\delta$ în loc de $1+\delta -o(1)$
1998	$1/15$ ()(*)	Ford [5]
1997	$1/4$ (**)	Elekesh [6]
2005	$3/11$	Shoimoshi [7]
2009	$1/3$	Shoimoshi [8]
2015	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{20598}}\aproximativ 0,333381...$	Konyagin , Shkredov [9]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{9813}}\aproximativ 0,333842...$	Konyagin , Shkredov [10]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{1509}}\aproximativ 0,333996...$	Rudnev, Shkredov, Stevens [11]
2019	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{5277}}\aproximativ 0,334280...$	Shakan [12]
2020 (preprint)	${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{1167}}\aproximativ 0,335047...$	Rudnev, Stevens [13]
() Numai pentru (*) Adevărat pentru grad în loc de $A\subset {\mathbb {Z} }$ $1+\delta$ $1+\delta -o(1)$

Pentru câmpurile de reziduuri modulo

Terence Tao în monografia sa notează că problema obținerii unui analog al rezultatului lui Erdős și Szemeredy în câmpuri a fost pusă în 1999 de T. Wolf (într-o conversație privată) pentru subseturi de cardinalitate de ordine . ${\mathbb {F} }_{p)$ $A\subset {\mathbb {F} }_{p)$ $p^{1/2}$

Problema produsului sumă a fost rezolvată de Burgain , Glibbichuk și Konyagin și Burgain, Katz și Tao. Au demonstrat următoarea teoremă ${\mathbb {F} }_{p)$

Pentru orice există astfel încât dacă și , atunci estimarea $\varepsilon >0$ $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ $A\subset {\mathbb {F} }_{p)$ $|A|<p^{1-\varepsilon }$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace \geq |A|^{1+\delta }

În condiția teoremei, cerința este firească, deoarece dacă are un ordin apropiat de , atunci ambele mărimi și vor fi apropiate pentru a . [paisprezece] $|A|<p^{1-\varepsilon }$ $|A|$ $p$ $|A+A|$ $|A\times A|$ $|A|$

Pentru inele arbitrare

Terence Tao a investigat limitele posibilității de generalizare a teoremei la inele arbitrare și, în special, legătura cazurilor extreme de valori mici ale și cu numărul de divizori zero dintr-o mulțime și proximitatea structurii acesteia de o mulțime. subring . [cincisprezece] $|A+A|$ $|A\cdot A|$ $A$

Metode de probă

Pentru numere reale

Primele dovezi

Dovada lui Erdős și Szemeredi a folosit faptul că pentru mici și există o soluție pentru sistem $|A+A|$ $|A\times A|$

{\begin{cases}b_{1}+b_{3}=b_{2}+b_{4}\\b_{1}b_{5}=b_{2}b_{6}\ ,\ sfârșit{cazuri}}

unde aparțin unor (diferite) submulțimi și se impun condiții speciale asupra mulțimii în sine. Folosind o astfel de afirmație ca lemă, se poate demonstra teorema și pentru o mulțime arbitrară . [16] $b_{i}$ $A$ $A$ $A$

Teorema Semeredi-Trotter (Elekesh, 1997)

Dacă toate elementele au multe reprezentări în formă pentru unele mulțimi mici , atunci pentru a estima numărul de soluții ale ecuației $a\în A$ $a=p_{1}p_{2},\p_{1}\in \Pi _{1},\p_{2}\in \Pi _{2)$ $\Pi _{1}\Pi _{2)$

a+b=c,\a\in A,\b\in B,\c\in C\.

cu orice seturi , puteți folosi ecuația $B,C$

p_{1}p_{2}+b=c,\p_{1}\in \Pi _{1},\p_{2}\in \Pi _{2},\b\in B, \c\în C\ .

Pe de altă parte, soluțiile unei astfel de ecuații corespund incidențelor dintre drepte, care sunt parametrizate prin perechi , și puncte, care sunt parametrizate prin perechi . Prin urmare, pentru a le estima, se dovedește a fi convenabil să se utilizeze rezultate generale asupra incidențelor, dintre care cea mai bună este teorema Szemeredy-Trotter . [17] [18] $(p_{1},b)$ $(p_{2},c)$

Acesta este exact ceea ce Elekesh a folosit pentru a demonstra teorema exponentului . [6] Implicit, proba sa poate fi împărțită în două etape: $\delta ={\frac {1}{4)}$

analiza ecuației (trivială, prin expansiune ) $a+b=c,\a\in A,b\in B,c\in C$ $\Pi _{1}:=AA,\\Pi _{2}:=1/A$

aplicarea estimărilor obținute (triviale, pentru ) $B:=A,\ C:=A+A$

Această descompunere este importantă pentru înțelegerea metodelor ulterioare .

Construcția lui Shoimoshi (Shoimoshi, 2009)

Shoimoshi a folosit faptul că dacă , atunci ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}\ .

De aici rezultă că dacă , atunci ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {a_{3}}{b_{3 }}}$

{\frac {a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}}}<{\frac {a_{2}+a_{3}}{b_{2}+ b_{3}}}\ .

În același timp, pentru valori fixe , toate perechile formate din reprezentări $\lambda \in A/A,\\mu \in A/A$ $(a+c,b+d)$

\lambda ={\frac {a}{b)),\\mu ={\frac {c}{d)),\ a,b,c,d\in A

vor fi diferite, prin urmare, însumându-le peste perechi „învecinate” , putem obține o estimare pentru numărul de astfel de reprezentări. Și, la rândul său, se exprimă (indirect) prin . [19] $(\lambda,\mu)$ $|A+A|$ $|AA|$

Această idee poate fi exprimată cel mai clar din punct de vedere geometric, deoarece însumarea punctelor din aceasta se află pe linii adiacente care emană din centrul coordonatelor. $A\times A$

Defalcarea construcției lui Shoimoshi (Konyagin, Shkredov, 2015)

Dacă din construcția lui Shoimoshi este eliminată condiția ca punctele însumate să aparțină liniilor învecinate, atunci nimic nu va garanta că toate sumele rezultate vor fi diferite. De exemplu, în general, toate sumele de puncte de la pot fi diferite numai în cazul extrem și satisface deja ipoteza produsului sumă. $A\times A$ $|A+A|\gg |A|^{2}$

Pe baza acestui fapt, Konyagin și Shkredov au estimat numărul minim de coincidențe ale unor astfel de sume în cazul intermediar (când și sunt egale cu estimarea inferioară, adică ). Pentru a estima numărul de potriviri, au împărțit toate liniile în blocuri cu același număr de potriviri și au estimat numărul de potriviri din fiecare bloc pentru majoritatea dintre ele. Folosind aceste estimări, au obținut un rezultat cu . [douăzeci] $|A+A|$ $|AA|$ $|A|^{4/3}$ $\delta >{\frac {1}{3}}$

Expansiune multiplicativă non-trivială (Rudnev și Stevens, 2020)

Coincidența celor două sume de puncte luate în considerare de Konyagin și Shkredov înseamnă că există o soluție pentru sistemul de ecuații

{\begin{cases}\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}=\lambda _{3}a_{3}+\lambda _{4}a_{ 4}\\a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\ ,\end{cases}}

unde atât toate cât și perechile sunt diferite. Prin reducerea sistemului conform metodei Gauss (într-un singur pas), se poate obține ecuația $(a_{i},\lambda _{i}a_{i})\in A\times A$ $\lambda _{i}$ $(\lambda _{1},\lambda _{2}),(\lambda _{3},\lambda _{4})$

{\displaystyle a_{3}=c_{1}a_{1}-c_{2}a_{2))

cu condiţii constante şi aceleaşi pe . Rudnev și Stevens au aplicat acest lucru pentru a construi în mod explicit o expansiune multiplicativă a unui submulțime mare cu proprietăți mai bune decât cea trivială. [21] $c_1, c_2$ $a_{1},a_{2}$ $A$

Prin analogie cu demonstrația lui Elekesh , aceasta ne permite să împărțim demonstrarea estimărilor cu exponent în doi pași: $\delta ={\frac {1}{3}}+c$

aplicarea unei noi expansiuni multiplicative;

o aplicare netrivială a ecuației pentru estimarea . [22] $ab=c$ $|A+A|$

Utilizarea energiilor superioare

Cel mai popular mod de a folosi ecuațiile pentru estimare este utilizarea energiei aditive și a generalizărilor acesteia. Rezultatele aplicării teoremei Szemeredy-Trotter fac posibilă analiza optimă a ecuațiilor de forma $|A+A|$

E_{3}(A,D):=\{(a_{1},a_{2},a_{3},d_{1},d_{2},d_{3})\în A ^{3}\times D^{3}\ :\ a_{1}-d_{1}=a_{2}-d_{2}=a_{3}-d_{3}\}

pentru arbitrar . Rudnev și Stevens au propus o metodă de exploatare a acestei energii aditive, luând în considerare ecuația $D$

d=(a+b)-(a+c)\,\ a,b,c\in A,\d\in D\ ,

unde corespunde setului de diferențe populare (cu un număr mare de reprezentări) și aparține setului de sume populare. Pe lângă problema produselor sume, dezvoltarea unor astfel de metode este relevantă pentru estimarea sumelor secvențelor convexe . [23] $D$ $a+b$

Există o metodă de operator similară, care este mai puțin eficientă pentru estimarea , dar vă permite să studiați mai bine relația dintre și . [24] $|A+A|$ $E(A)$ $|AA|$

Pentru câmpuri simple

La demonstrarea teoremei pentru , noțiunea de energie aditivă , inegalitatea Plünnecke-Rouge și estimările Balogh-Szemeredi-Gowers sunt utilizate pe scară largă. O posibilă demonstrație folosește o limită inferioară a mărimii setului și faptul că de la limitele superioare ale dimensiunilor și urmează o limită superioară inferioară contradictorie asupra dimensiunii . [25] [26] ${\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p)$ $R(A)=A\left({{\frac {A\times AA\times A}{AA))+A}\right)$ $A+A$ $A\times A$ $R(A)$

Aplicații

Bourgain , Glibichuk și Konyagin [27] au folosit un caz particular al teoremei pentru estimarea sumelor trigonometrice multiliniare . Acest lucru, în special, a făcut posibilă obținerea unor limite superioare netriviale pentru sumele Gauss pe subgrupuri multiplicative mici . [28] Bourgain, Katz și Tao , folosind același caz, au consolidat estimarea în problema Szemeredy-Trotter în , demonstrând că pentru un set de perechi pentru un set de puncte de la și linii pentru , estimarea este valabilă pentru unele . [29] ${\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p)$ ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{g\in G}{e^{2\pi {\frac {ag}{p}}i}}}{\Bigg \vert }={ \Bigg \vert }{\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{n}}{p}}i}}}{\Bigg \vert}$ $G\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*},\ |G|={\frac {p-1}{n))$ ${\mathbb {F} }_{p)$ $I=\left\lbrace {(p,l):p\in l,p\in P,l\in L}\right\rbrace$ $P$ $\left({{\mathbb {F} }_{p}}\right)^{2}$ $L$ $|P|=|L|=n$ $|I|\leq n^{{\frac {3}{2}}-\varepsilon }$ $\varepsilon >0$

În aceeași lucrare, ei au aplicat teorema pentru a investiga mulțimile Kakeyi în spațiul de dimensiuni mari . Pentru dimensiunea unui astfel de set, au obținut o estimare . [26] [29] $({\mathbb {F} }_{p})^{d)$ $|S|>p^{{\frac {d}{2}}+1+10^{-10}}$

Limitele unei posibile îmbunătățiri a ipotezei

În același articol în care Erdős și Szemeredi au emis ipoteza că pentru , ei au prezentat și un exemplu de construire a unui set arbitrar de mare pentru care . Mulțimea numerelor obținute ca produs de nu mai mult de numere prime (nu neapărat diferite) a servit ca o astfel de mulțime , fiecare dintre acestea nu depășind , unde este un număr arbitrar suficient de mare. [16] $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >c(\delta )|A|^{2-\delta }$ $A\subset {\mathbb {Z} },\\delta >0$ $A$ ${\displaystyle |A+A|+|A\times A|\leq |A|^{2-{\frac {c}{\log \log |A|))))$ $2\left\lfloor {\frac {\log x}{6\log \log x))\right\rfloor$ $(\log x)^{3)$ $X$

Generalizări

Pentru o combinație de operații

Bourgain și Chang au luat în considerare estimări ale formei

\max\{|\underbrace {A+\dots +A} _{k}|,|\underbrace {A\times \dots \times A} _{k}|\}\geq |A|^{ b(k)}

pentru un arbitrar şi . [treizeci] $k$ $b(k)\la \infty$

În multe lucrări, adunarea și înmulțirea sunt combinate într-o singură expresie : de exemplu, se obțin limite inferioare necondiționate pentru . [31] $|AA+AA|$

Pentru un set de perechi de termeni/factori

Una dintre generalizările conjecturii este problema sumelor și produselor corespunzătoare muchiilor unui graf arbitrar pe elementele unei mulțimi.

Fie un grafic, , . Notează și prin egalități $G=(A,E)$ $E\subset A\times A$ $|A|=n$ $c$ $\delta$

$|E|=n^{1+c}$

$\max\{|A+_{G}A|,|A\cdot _{G}A|\}=n^{1+\delta }$ , unde , $A+_{G}A:=\{a+b:(a,b)\in E\}$ $A\cdot _{G}A:=\{ab:(a,b)\in E\)$

Cum depind și valorile unul de celălalt ? $c$ $\delta$ $|A|\to \infty$

Spre deosebire de cazul , poate să nu existe o creștere extremă nici a sumelor, nici a produselor: la , situația este posibilă când [32] . Prin urmare, pe lângă limitele inferioare, problema limitelor superioare pentru . Cu toate acestea, limitele inferioare sunt, de asemenea, studiate. [33] [34] $G=A\times A$ $c<1$ $\delta <c$ $\max\{|A+A|,|AA|\}$

Pentru a estima energiile

Limitele inferioare ale mărimii mulțimii de sume pot fi ușor derivate din limitele superioare ale energiei aditive , așa că este firesc să generalizăm ipoteza despre prima la ipoteza despre a doua, folosind un concept similar de energie multiplicativă .

Dar un set de numere poate avea ambele energii mari în același timp, deoarece estimarea inferioară poate fi controlată de contribuția unui subset separat. De exemplu, dacă , atunci pentru un set este adevărat că $E^{+}(A_{1})\gg |A|^{3},E^{\times }(A_{2})\gg |A|^{3)$ $A=A_{1}\cup A_{2}$

\min\{E^{+}(A),E^{\times }(A)\}\geq \min\{E^{+}(A_{1}), E^{\times }(A_{2})\}\gg |A|^{3}\ .

Prin urmare, atunci când se formulează teorema energetică corespunzătoare, se utilizează raportul energiilor diferitelor submulțimi .

Teorema Balogh-Wooly

Există o constantă astfel încât pentru orice set există o partiție cu condiția $\delta>0$ $A\subset {\mathbb {R} }$ $A=B\sqcup C$

E^{+}(B)\leq |A|^{3-\delta},\E^{\times }(C)\leq |A|^{3-\delta )

Cea mai bună versiune a acestei teoreme a fost demonstrată pentru . [12] Se știe că nu același lucru este valabil și pentru . [35] $\delta ={\frac {7}{26}}-o(1)$ $\delta >{\frac {2}{3}}$

Pentru funcții convexe arbitrare

Înmulțirea a două numere poate fi reprezentată în funcție de adunarea logaritmilor lor: . Aplicarea în funcție de elemente a unei funcții strict crescătoare la un set nu îi schimbă dimensiunea, deci $ab=\exp(\log a+\log b)$

|AA|=|\exp(\log A+\log A)|=|\log A+\log A|

iar ipoteza de bază sumă-produs poate fi reformulată ca

{\displaystyle \max\{|A+A|,|\log A+\log A|\}\geq |A|^{2-o(1)))

sau (înlocuind ) ca $A:=\log A$

\max\{|\exp(A)+\exp(A)|,|A+A|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ .

Se pare că estimări similare pot fi dovedite pentru o funcție convexă arbitrară în loc de . $\exp$

Teorema [36]

Dacă este o mulțime arbitrară, este o funcție arbitrară strict convexă, atunci $A\subset {\mathbb {R} }$ $f:{\mathbb {R} }\la {\mathbb {R} }$

{\displaystyle \max\{|AA|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{14/11-o(1)))

{\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{24/19-o(1)))

Întrebarea dacă aceleași estimări cu indicatorul din partea dreaptă sunt corecte rămâne deschisă. $2-o(1)$

Rezultate similare au fost obținute și pentru un număr mai mare de termeni. [37]

Literatură

Garaev M. Z. Sume și produse ale mulțimilor și estimări ale sumelor trigonometrice raționale în câmpuri de ordin prim // Advances in Mathematical Sciences . - Academia Rusă de Științe , 2010. - T. 65 , nr. 4 (394) . - S. 5-66 . doi :/ rm9367 . (Rusă)

P. Erdös, E. Szemeredi. Despre sume și produse de numere întregi (engleză) // Birkhäuser Verlag. - 1983. - P. 213-218 .

M. Nathanson. Despre sume și produse de numere întregi (engleză) // Proceedings of the American Mathematical. - 1997. - Vol. 125 , iss. 1 .

K. Ford. Sume și produse dintr-un set finit de numere reale // Jurnalul Ramanujan. - 1998. - Vol. 2 . — P. 59–66 .

G. Elekes. Despre numărul de sume și produse (engleză) // Acta Arithmetica. - 1997. - Vol. 81 , iss. 4 . — P. 365–367 .

J. Solymosi. Limitarea energiei multiplicative prin sumset // Progrese în matematică. - 2009. - Vol. 222 , iss. 2 . — P. 402–408 . - arXiv : 0806.1040v3 .

SV Konyagin, ID Shkredov. Despre seturi de sume de seturi care au un set mic de produse // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2015. - Vol. 290 . — P. 288–299 . - arXiv : 1503.05771 .

SV Konyagin, ID Shkredov. Rezultate noi la produsele suma în . - 2016. - arXiv : 1602.03473 . ${\mathbb {R} }$

M. Rudnev, ID Shkredov, S. Stevens. Despre varianta energetică a conjecturei sumă-produs // Revista Matemática Iberoamericana. - 2020. - Vol. 36 , iss. 1 . — P. 207–232 . - arXiv : 1607.05053 .

G. Shakan. Despre descompunerea energiei superioare și fenomenul sumă-produs (engleză) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 2019. - Vol. 167 , iss. 3 . — P. 599–617 . - arXiv : 1803.04637 .

M. Rudnev, S. Stevens. O actualizare cu privire la problema sumei produsului . - 2020. - arXiv : 2005.11145 .

G. Elekes, IZ Ruzsa. Puține sume, multe produse (engleză) // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. - 2003. - Vol. 40 , iss. 3 . — P. 301–308 .

B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, Y. Shteinikov. La puținele produse, multe sume problemă // Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. - 2019. - Vol. 31 , iss. 3 . - P. 573-602 . - arXiv : 1712.00410 .

N. Alon, I. Ruzsa, J. Solymosi. Sume, produse și rapoarte de-a lungul marginilor unui grafic // Publicacions Matemàtiques . - 2020. - Vol. 64 , iss. 1 . — P. 143–155 . - arXiv : 1802.06405 .

N. Alon, O. Angel, I. Benjamini, E. Lubetzky. Sume și produse de-a lungul graficelor rare // Israel Journal of Mathematics. - 2012. - Vol. 188 , iss. 1 . — P. 353–384 . - arXiv : 0905.0135 .

I. Shkredov, J. Solymosi. Conjectura de uniformitate în combinatorie aditivă . - 2020. - arXiv : 2005.11559 .

J. Solymosi. Despre numărul de sume și produse (engleză) // Buletinul Societății de Matematică din Londra. - 2005. - Vol. 37 , iss. 4 . - P. 491-494 .

A. Balog, T.D. Wooley. O teoremă de descompunere cu energie scăzută (engleză) // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2017. - Vol. 68 , iss. 1 . — P. 207–226 . - arXiv : 1510.03309 .

B. Hanson, O. Roche-Newton, M. Rudnev. Convexitate mai mare și seturi de sume iterate . - 2020. - arXiv : 2005.00125 .

L. Li, O. Roche-Newton. Estimarea convexității și a unui tip de produs sumă // Acta Arithmetica. - 2012. - Vol. 156 . — P. 247–255 . - arXiv : 1111.5159v1 .

J. Bourgain, M.-C. Chang. Despre dimensiunea sumei -fold și seturi de produse de numere întregi $k$ // Journal of the American Mathematical Society. - 2004. - Vol. 17 , iss. 2 . — P. 473–497 . — arXiv : math/0309055 .

K. I. Olmezov, A. S. Semcenkov, I. D. Shkredov. Despre sume și diferențe populare pentru seturi cu dedublare multiplicativă mică // Note matematice. - 2020. - T. 108 , nr. 4 . — S. 561–571 . - arXiv : 1911.12005 . (Rusă)

Note

↑ Rezolvată în Elekes, Ruzsa, 2003
↑ Murphy, Rudnev, Shkredov, Shteinikov , 2019 au obținut rezultate mai bune decât în cazul general
↑ Sursa . Preluat la 21 ianuarie 2018. Arhivat din original la 22 ianuarie 2018. (nedefinit)
↑ Prima lucrare a lui Erdös, Szemerédi, 1983 nu a precizat semnificația lui , ci doar a dovedit existența lui . Cu toate acestea, urmărind direct raționamentul acelei lucrări arată că este corectă pentru . Această valoare este menționată în mod explicit mai târziu în Nathanson, 1997 $\delta$ $\delta =1/31$
↑ Ford, 1998 .
↑ 12 Elekes , 1997 .
↑ Solymosi, 2005 .
↑ Solymosi, 2009 .
↑ Konyagin, Shkredov, 2015 .
↑ Konyagin, Shkredov, 2016 .
↑ Rudnev, Shkredov, Stevens, 2020 .
↑ 12 Shakan , 2019 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 .
↑ Garaev, 2010 , p. 1-2.
↑ Tao, Terence (2009), The sum-product phenomenon in arbitrary rings, Contributions to Discrete Mathematics vol. 4 (2): 59–82, hdl: 10515/sy5r78637 .
↑ 1 2 Erdös, Szemeredi, 1983 .
↑ Vezi Rudnev și Stevens, 2020 , Lema 3
↑ În mod similar, descompunerea poate fi utilizată pentru analiză . Vezi Rudnev și Stevens, 2020 , Lema 4. $a=p_{1}-p_{2},\p_{1}\in \Pi _{1},\p_{2}\in \Pi _{2)$ $E^{\times }(A)$
↑ Vezi Solymosi, 2009 , formula (2).
↑ Vezi Konyagin și Shkredov, 2015 , dovada Lemei 10
↑ Vezi Rudnev și Stevens, 2020 , p. 10 (după sugestia 1)
↑ Dacă este trivial să aplicați aceste estimări, în același mod ca și pentru Elekesh, atunci rezultatul va fi $\delta ={\frac {1}{3}}$
↑ Vezi Rudnev, Stevens, 2020 , Teorema 5, în special formula (25)
↑ Vezi Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2020 , teorema 2
↑ Garaev, 2010 , p. 14-25.
↑ 1 2 Mini curs de combinatorică aditivă Arhivat 29 august 2017 la Wayback Machine , note de curs de la Universitatea Princeton
↑ J. Bourgain, A.A. Glibichuk, S.V. Konyagin, „Estimări pentru numărul de sume și produse și pentru sume exponențiale în câmpurile de ordin prim”, J. London Math. soc. (2), 73:2 (2006), 380-398. . Preluat la 21 ianuarie 2018. Arhivat din original la 22 ianuarie 2018. (nedefinit)
↑ Garaev, 2010 , p. 7-9.
↑ 1 2 K. N. Bourgain, J. și T. Tao. O estimare suma-produs în domenii finite și aplicații. GAFA, 14(1):27-57, 2004. arXiv: math/0301343 Arhivat la 22 ianuarie 2018 la Wayback Machine
↑ Bourgain, Chang, 2004 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 , teorema 2
↑ Alon, Ruzsa, Solymosi, 2020 , Teorema 3
↑ Alon, Angel, Benjamini, Lubetzky, 2012 , ancheta 4
↑ Shkredov, Solymosi, 2020 , teorema 3
↑ Balog, Wooley, 2017 , Teorema 1.2
↑ Li, Roche-Newton, 2012 , Teoremele 1.1, 1.2
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , teorema 1.4