Spațiul noetherian

Un spațiu noetherian (numit după Emmy Noether ) este un spațiu topologic X care satisface condiția de terminare a lanțurilor descendente de submulțimi închise [1] [2] . Adică, pentru fiecare succesiune de submulțimi închise ale spațiului X astfel încât: $Y_i$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

există un întreg r astfel încât $Y_s = Y_r ~ \forall s>r.$

Această condiție este echivalentă cu faptul că fiecare submulțime este compactă . $X$

Definiții echivalente

Un spațiu topologic se numește Noetherian dacă una dintre următoarele afirmații echivalente este valabilă: $X$

$X$ satisface condiția de terminare a lanțurilor descendente de submulțimi închise [1] [2] ;
$X$ satisface condiția ruperii lanțurilor crescătoare de submulțimi deschise [3] ;
fiecare familie nevide de submulțimi închise din , ordonate după includere, are un element minim [1] [3] ; $X$
fiecare familie nevide de submulțimi deschise din , ordonate după includere, are un element maxim [3] ; $X$
fiecare submulțime este compactă (cu topologia subspațială ); $X$
fiecare submulțime deschisă este compactă [1] . $X$

Proprietăți

Un spațiu Hausdorff este noetherian dacă și numai dacă este finit (și în același timp va fi discret ) [3] .
Fiecare subspațiu al unui spațiu Noether este din nou un spațiu Noether [1] [3] .
Dacă un spațiu poate fi acoperit de un număr finit de subspații noetheriene, atunci el însuși este noetherian [1] . $X$ $X$
Un spațiu noetherian poate fi reprezentat ca o unire a unui număr finit al componentelor sale ireductibile [1] [2] . $X$

Exemple

Spațiile noetheriene apar adesea în geometria algebrică .

Un spațiu ( un spațiu afin n-dimensional peste un câmp k ) cu topologia Zariski este un spațiu Noether topologic [2] . Conform definiției topologiei Zariski în dacă: $\mathbb {A} ^ n_k$ $\mathbb {A} ^ n_k$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

este o succesiune descrescatoare de multimi inchise, atunci:

I (Y_1) \subseteq I (Y_2) \subseteq I (Y_3) \subseteq \cdots

este o succesiune crescătoare de idealuri ( indică idealul funcțiilor polinomiale care dispar în fiecare punct ). Deoarece este un inel Noether, există un număr întreg astfel încât: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $eu (Y_i)$ $(Y_i)$ $k[x_1, \ldots, x_n]$ $m$

I (Y_m) = I (Y_ {m + 1}) = I (Y_ {m + 2}) \cdots.

Având în vedere corespondența unu-la-unu dintre idealurile radicale și mulțimile închise (în topologia Zariski) , aceasta este valabilă pentru toate i . De aceea: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $\mathbb {A} ^ n_k$ $V(I(Y_i)) = Y_i$ $Y_m = Y_{m +1} = Y_{m + 2} = \cdots$

Exemple de spații noetheriene sunt spectrele inelelor comutative. Dacă este un inel Noether , atunci spațiul (spectrul ) este Noetherian [1] . $R$ $\operatorname{Spec.}(R)$ $R$

Vezi și

noetherianism

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kuzmin, 1982 .
↑ 1 2 3 4 Hartshorne, 1981 , p. 21.
↑ 1 2 3 4 5 Hartshorne, 1981 , p. 25.

Literatură

Kuzmin L. V. . Seria Möbius // Enciclopedia matematică. Vol. 3 / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. enciclopedia , 1982. - 1184 stb. - Stb. 1028.
Hartshorne R. . Geometrie algebrică. — M .: Mir , 1981. — 597 p.

Link -uri

Drozd, Yuri. Introducere în geometria algebrică (link indisponibil)