Spectrul inelului

Spectrul unui inel în matematică este mulțimea tuturor idealurilor prime ale unui inel comutativ dat . De obicei, spectrul este dotat cu topologia Zariski și un snop de inele comutative, făcându-l un spațiu local inel . Spectrul unui inel (în continuare, cuvântul „ring” înseamnă „un inel comutativ cu unitate”) este notat cu . $R$ $\operatorname{Spec.}\, R$

Topologia lui Zariski

Topologia pe spectrul unui inel poate fi introdusă în două moduri echivalente, iar ambele moduri sunt intens utilizate în geometria algebrică .

Baza topologiei Zariski

Prima modalitate de a introduce topologia Zariski pe spectrul unui inel este de a specifica baza topologiei . Bazele sunt subseturi ale spectrului formei , unde este un element arbitrar al inelului . $D_f = \{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R: f\notin \mathfrak{p}\}$ $f$ $R$

Următoarele afirmații sunt ușor de verificat:

D_1 = \operatorname{Spec}\, R

D_f\cap D_g = D_{fg}

Din aceste formule rezultă că familia tuturor submulțimii formei este un spectru care acoperă , închis sub intersecții, adică este baza unei topologii. $D_f$

Spectrul unui inel nu este, în general, un spațiu Hausdorff . Pe de altă parte, spectrul oricărui inel satisface axioma de separare T 0 și este compact .

Pentru a demonstra compactitatea, este suficient să se verifice că din acoperirea cu elemente de bază poate fi aleasă o subacoperire finită. Dacă sistemul de mulțimi este o acoperire a spectrului, aceasta înseamnă că idealul inelului R generat de mulțimea A conține identitatea. Adică, egalitatea este adevărată: , în care sunt elemente ale mulțimii A și sunt unele elemente ale inelului R. Dar atunci este subacoperirea finită necesară a spectrului. Compactitatea mulțimilor este dovedită în mod similar . (Trebuie remarcat faptul că, în absența Hausdorffness, un subset compact nu trebuie să fie închis!) $\{D_f: f\în A\}$ $1 = k_1a_1+k_2a_2 + \cdots + k_na_n$ $a_{i}$ $k_i$ $\{D_{f_1},D_{f_2},\cdots,D_{f_n}\}$ $D_f$

Definiție în termeni de submulțimi închise

A doua modalitate de a introduce topologia Zariski pe spectrul unui inel este de a specifica toate subseturile închise ale . Mulțimile închise ale spectrului sunt mulțimile de forma:

V(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R: \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}

, unde este un ideal arbitrar (nu neapărat simplu) al inelului .

\mathfrak{a}

R

Următoarele formule sunt ușor de verificat:

V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})

, unde este produsul idealurilor corespondente,

\mathfrak{a} \mathfrak{b}

\cap_{\alpha}V(\mathfrak{a_{\alpha))) = V(\sum_{\alpha}\mathfrak{a_{\alpha)))

V((0)) = \operatorname{Spec}\, R

V((1)) = \varnothing

din care rezultă că familia de mulţimi de formă satisface axiomele sistemului tuturor mulţimilor închise ale unui spaţiu topologic. Seturile deschise sunt complementare acestor seturi. $V(\mathfrak{a})$

Cu o astfel de descriere a topologiei, este ușor de observat că, dacă sunt două idealuri prime, atunci punctul se află în închiderea punctului . Astfel, punctele închise din topologia Zariski sunt idealurile maxime și numai ele. $\mathfrak{p}_1\subset\mathfrak{p}_2$ $\mathfrak{p}_2$ $\mathfrak{p}_1$

Echivalența topologiilor

Pentru a demonstra echivalența definițiilor în ceea ce privește baza topologiei și în termeni de mulțimi închise, este suficient să verificați formulele:

V(\mathfrak{a})^c = \cup_{f\in \mathfrak{a}}D_f

D_{f}=V((f))^{c)

, unde denotă complementul mulțimii și este idealul generat de element .

V^c

V

(f)

f

Prima dintre aceste formule înseamnă că un subset al spectrului care este deschis față de a doua topologie este deschis și în prima, iar a doua înseamnă că toate mulțimile care formează baza primei topologii sunt deschise în a doua. (și, prin urmare, toate uniunile acestor seturi sunt de asemenea deschise) .

Grinda structurală și scheme

Snop structural de pe spectru este definit după cum urmează: fiecare set deschis de la bază este asociat cu localizarea inelului în sistemul multiplicativ . Elementele acestei localizări sunt fracții formale ale formei , astfel încât este gradul de . În consecință, un set deschis este asociat cu localizarea prin sistemul multiplicativ generat de . $D_f$ $R$ $\{1, f, f^2, f^3, \dots \}$ $p/q$ $q$ $f$ $\cup_i D_{f_i}$ $f_{i}$

Același set deschis poate fi reprezentat în multe moduri, dar se poate demonstra că localizarea inelului nu depinde de alegerea unei astfel de reprezentări și, de asemenea, se poate verifica că toate celelalte proprietăți ale snopului sunt valabile. $\cup_i D_{f_i}$

În cazul în care este un inel integral cu un câmp de coeficienti , snopiul structural poate fi descris mai specific. Se spune că un element este regulat într-un punct dacă poate fi reprezentat ca o fracție al cărei numitor nu aparține lui . În consecință, o mulțime deschisă este asociată cu o mulțime de elemente regulate în fiecare punct ; se poate verifica dacă acest set este închis la adunare și înmulțire, adică formează un inel. Construcția hărților de constrângeri în acest caz este de asemenea mai evidentă: dacă , atunci elementul câmpului coeficient, care este regulat în fiecare punct al lui , este, de asemenea, regulat în fiecare punct al lui . $R$ $K$ $f/g\în K$ $\mathfrak{p}\în \operatorname{Spec}\, R$ $f/g$ $\mathfrak{p}$ $U$ $K$ $U$ $U'\subset U$ $U$ $U'$

Fibra snopului rezultat în punct coincide cu localizarea inelului printr-un ideal prim , acest inel este local . Prin urmare, spectrul unui inel este într-adevăr un spațiu local inel. $\mathcal O$ $\mathfrak{p}$ $R_{\mathfrak{p}}$ $R$ $\mathfrak{p}$

Un spațiu local inel care poate fi obținut în acest mod se numește schemă afină . Schemele generale se obțin prin „lipirea împreună” a mai multor scheme afine.

Funcționalitate

Fiecărui homomorfism de inel îi corespunde o mapare continuă a spectrelor (în direcția opusă) . Într-adevăr, preimaginea unui ideal prim în acțiune este un ideal prim. Pentru a demonstra continuitatea acestei mapări, este suficient să dovedim că imaginea inversă a unei mulțimi închise este închisă. Aceasta rezultă din egalitate $\varphi: A\la B$ $\varphi^*:\operatorname{Spec}\, B \to \operatorname{Spec}\, A$ $\mathfrak p\în B$ $\varphi$

(\varphi^*)^{-1}(V(\mathfrak{a})) = V(\varphi(\mathfrak{a}))

, unde este un ideal arbitrar al inelului .

\mathfrak{a}

A

De aici rezultă că este un functor contravariant din categoria inelelor comutative la categoria spațiilor topologice. Mai mult, harta pentru fiecare induce un homomorfism al inelelor locale $\operatorname{Spec.}$ $\varphi$ $\mathfrak p\în B$

\mathcal O_{f^{-1}(\mathfrak p)}\la \mathcal O_{\mathfrak p}

Prin urmare, definește un functor contravariant în categoria spațiilor inelate local. Imaginea acestui functor este exact scheme afine, deci categoria inelelor comutative este (contravariant) echivalentă cu categoria schemelor afine. $\operatorname{Spec.}$

Motivația din geometria algebrică

În geometria algebrică se studiază varietățile algebrice , adică submulțimile spațiului (unde este un câmp închis algebric ), date ca zerouri comune ale unui anumit set de polinoame în variabile. Dacă este o astfel de varietate algebrică, luați în considerare inelul comutativ al funcțiilor polinomiale . Atunci idealurile maxime ale inelului corespund punctelor soiului , iar idealurile prime corespund tuturor subvarietăților ireductibile (se spune că o varietate este ireductibilă dacă nu poate fi reprezentată ca unirea a două varietăți mai mici). Mai mult, închiderea unei subvariete constă din toate punctele și subvarietățile sale. Mai mult decât atât, snop de pe spectrul definit mai sus coincide de fapt cu snopiul de funcții raționale pe o varietate algebrică . $K^n$ $K$ $n$ $A$ $A la K$ $R$ $A$ $A$ $A$

Literatură

Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. — M.: Mir, 1972.
Hartshorne , Geometrie algebrică - M.: Mir, 1981.
Mumford , Cartea roșie a soiurilor și schemelor - M.: MTsNMO, 2007.