Progresie aritmetică generalizată

Progresie aritmetică generalizată - un set de numere sau elemente ale unui grup arbitrar , reprezentabil ca $G$

\left\lbrace {a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i}}\ :\ 0\leq \lambda _{i}<n_{ i},\ i=1,\puncte ,k}\dreapta\rbrace

pentru unii . [unu] ${\displaystyle d_{1},\dots,d_{k},n_{1},\dots,n_{k))$

Terminologie înrudită

O progresie se numește propriu- zisă dacă toate numerele formei sunt diferite, adică conține elemente. $a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i))$ $n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k)$

Rangul (sau dimensiunea ) progresiei este numărul de termeni din reprezentarea fiecărui element (în notația de mai sus, numărul ). $k$

Când , progresia aritmetică generalizată este numită și cubul [2] -dimensional (deoarece există o mapare liniară de la ) în ea. $n_{1}=\dots =n_{k}=2$ $d$ $\left\lbrace {0,1}\right\rbrace ^{d}$

Când mulțimea este o progresie aritmetică obișnuită . $k=1$

Domeniul de utilizare

Progresiile aritmetice generalizate sunt o construcție care este mai puțin structurată decât progresia aritmetică obișnuită, dar are totuși o structură netrivială (când dimensiunea progresiei este mare și rangul este mic). Acest lucru le face un instrument convenabil pentru studierea și generalizarea teoremelor combinatoriei aritmetice legate de derivarea structurii din caracteristicile numerice ale unei mulțimi, cum ar fi energia aditivă , factorul de dublare etc. [3]

Unele teoreme structurale ale combinatoriei aditive demonstrează existența unei progresii aritmetice generalizate de rang suficient de mic și dimensiuni suficient de mari în mulțimi suficient ordonate, sau posibilitatea de a acoperi o astfel de mulțime printr-o progresie aritmetică generalizată de rang mic și mic (limitată de o formulă de pe dimensiunea setului) dimensiune.

Progresiile aritmetice generalizate pot fi folosite pentru a demonstra teorema lui Roth . [patru]

În general, demonstrarea prezenței progresiilor aritmetice generalizate într-o mulțime, pe baza unor fapte cunoscute despre această mulțime, este adesea mai ușoară decât demonstrarea prezenței progresiilor aritmetice obișnuite.

Vezi și

Combinatorică aditivă
teorema lui Freiman

Note

↑ OEIS Wiki, „Progresii aritmetice generalizate” . Preluat la 8 mai 2018. Arhivat din original la 11 mai 2018. (nedefinit)
^ WT Gowers, „O nouă dovadă a teoremei lui Szemeredi”, 2001 . Preluat la 8 mai 2018. Arhivat din original la 11 mai 2018. (nedefinit)
↑ P. L. Chebyshev Mathematical Laboratory, curs de Harald Helfgott „Călătorie prin domenii moderne de analiză și teoria numerelor”, prelegerea 2
↑ Graham, 1984 , p. 29-33.

Literatură

Ronald Graham. Începuturile teoriei Ramsey. — M .: Mir, 1984.