Problemă inversă

O problemă inversă este un tip de problemă care apare adesea în multe ramuri ale științei , atunci când valorile parametrilor modelului trebuie obținute din datele observate.

Exemple de probleme inverse pot fi găsite în următoarele domenii: geofizică , astronomie , imagistica medicală , tomografie computerizată , teledetecția Pământului , analiză spectrală , teoria împrăștierii și probleme NDT .

Problemele inverse sunt probleme prost puse. Dintre cele trei condiții ale unei probleme bine puse (existența unei soluții, unicitatea soluției și stabilitatea acesteia ), ultima este cel mai adesea încălcată în probleme inverse. În analiza funcțională, problema inversă este reprezentată ca o mapare între spațiile metrice . Problemele inverse sunt de obicei formulate în spații dimensionale infinite , dar restricția asupra caracterului finit al măsurătorilor și oportunitatea calculării unui număr finit de parametri necunoscuți conduc la o modificare a problemei într-o formă discretă . În acest caz, se folosește o metodă de regularizare pentru a evita supraadaptarea .

Problemă liniară inversă

Problema liniară inversă poate fi descrisă după cum urmează:

\ d=G(m)

unde este un operator liniar care descrie relațiile explicite dintre date și parametrii modelului și reprezintă un sistem fizic. În cazul unei probleme liniare inverse discrete care descrie un sistem liniar , și sunt vectori , ceea ce permite utilizarea următoarei reprezentări a problemei: $G$ $d$ $m$

\ d=Gm

unde este o matrice . $G$

Exemple

Un exemplu de problemă liniară inversă este ecuația integrală Fredholm de ordinul întâi.

d(x)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)\,m(y)\,dy

Pentru un operator în esență neted , operatorul definit mai sus este compact pe astfel de spații Banach precum Spaces . Chiar dacă maparea este unu-la-unu , funcția inversă nu va fi continuă . Astfel, chiar și erorile mici ale datelor vor fi mult amplificate în soluție . În acest sens, problema inversă de determinat din datele măsurate va fi incorectă. $g$ $L^{p}$ $d$ $m$ $m$ $d$

Pentru a obține o soluție numerică, este necesar să se aproximeze integrala folosind integrarea numerică și date discrete. Sistemul de ecuații liniare rezultat va fi o problemă prost pusă.

Transformarea Radon este, de asemenea, un exemplu de problemă liniară inversă.

Problemă inversă neliniară

În problemele inverse neliniare, se pun relații mai complexe între date și model, care sunt descrise de ecuația:

\d=G(m).

Iată un operator neliniar care nu poate fi redus la o mapare liniară care se traduce în date. Problemele liniare inverse au fost rezolvate complet din punct de vedere teoretic la sfârșitul secolului al XIX-lea , al celor neliniare, până în 1970 a fost rezolvată doar o singură clasă de probleme - problema retroîmprăștierii. O contribuție semnificativă a avut școala de matematică rusă ( Kerin , Gelfand , Levitan ). $G$ $m$

Link -uri

Reviste științifice internaționale

Literatură

Goltsman F. M. Modele statistice de interpretare. - M., Nauka, 1971. - 323 p.