Operator (matematică)

Operator ( operator latin târziu - lucrător, executant, de la operor - lucrez, acționez) - o mapare matematică între mulțimi , în care fiecare dintre ele este înzestrată cu o structură suplimentară (ordine, topologie, operații algebrice). Conceptul de operator este folosit în diferite ramuri ale matematicii pentru a-l distinge de alte tipuri de mapări (în principal funcții numerice ); sensul exact depinde de context, de exemplu, în analiza funcțională, operatorii sunt înțeleși ca mapări care asociază funcții cu o altă funcție („un operator pe spațiul funcțiilor” în loc de „o funcție dintr-o funcție”).

Câteva tipuri de operatori:

operatori pe spatii functionale ( diferentiere , integrare , convolutie nucleu , transformata Fourier ) in analiza functionala ;
mapări (în special cele liniare) între spații vectoriale (proiectoare, rotații de coordonate, omoteții, înmulțiri vector-matrice) în algebră liniară ;
transformarea secvenţelor (convoluţia semnalelor discrete, filtru median) în matematică discretă .

Terminologie de bază

Se spune că un operator acţionează de la o mulţime la alta . Operatorul poate să nu fie definit peste tot pe ; atunci se vorbeşte despre domeniul său de definire . Pentru ca rezultatul aplicării operatorului să noteze sau . $A:X\la Y$ $X$ $Y$ $X$ $D_{A}=D(A)\subset X$ $x\în X$ $A$ $X$ $Topor)$ $Topor$

Dacă și sunt spații vectoriale , atunci în mulțimea tuturor operatorilor de la până la putem evidenția clasa operatorilor liniari . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Dacă și sunt spații topologice vectoriale , atunci în mulțimea operatorilor de la până la clasa operatorilor continui , precum și clasa operatorilor liniari mărginiți și clasa operatorilor liniari compacti (numiți și complet continui) se disting în mod natural . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Exemple simple

Un operator care acționează asupra spațiilor de funcții este o regulă conform căreia o funcție este transformată în alta. Transformarea unei functii dupa regula intr-o alta functie are forma sau, mai simplu, . $x(t)$ $A$ $YT)$ $y(t)=A\{x(t)\}$ $y=ax$

Exemple de astfel de transformări sunt înmulțirea cu un număr: și diferențierea: . Operatorii corespunzători se numesc operatori de înmulțire cu un număr, diferențiere, integrare, rezolvare a unei ecuații diferențiale etc. $y(t)=cx(t)$ $\scriptstyle y(t)={\frac {dx(t)}{dt)}$

Operatorii care modifică un argument de funcție sunt numiți operatori de conversie sau transformări . Transformarea înlocuiește axele de coordonate, afișează funcția într-un alt spațiu. De exemplu , transformarea Fourier din timp în domeniul frecvenței:

F(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}f(t)e^{ {-it\omega }}\,dt={\mathcal {F}}\{f(t)\}.

Diferența dintre un operator și o simplă suprapunere de funcții în acest caz este că valoarea funcției , în general vorbind, în fiecare punct depinde nu numai de , ci și de valorile funcției în toate punctele . Să explicăm exemplul transformării Fourier. Valoarea acestei transformări (spectrul funcției) într-un punct se modifică cu o schimbare continuă a funcției inițiale în vecinătatea oricărui punct . $y$ $t$ $x(t)$ $X$ $t$ $\omega$ $t$

Teoria operatorilor se ocupa cu studiul proprietatilor generale ale operatorilor si aplicarea acestora la rezolvarea diverselor probleme . De exemplu, se dovedește că operatorul de înmulțire vector-matrice și operatorul de convoluție al unei funcții cu greutate au multe proprietăți în comun.

Fundamental pentru practică este clasa așa-numiților operatori liniari . Este și cel mai cercetat. Un exemplu de operator liniar este operația de înmulțire a unui vector -dimensional cu o matrice de dimensiune . Acest operator mapează spațiul -dimensional al vectorilor cu spațiul -dimensional . $n$ $de n\ ori m$ $n$ $m$

Operatori liniari

Un operator (care acționează dintr-un spațiu vectorial într-un spațiu vectorial) se numește liniar omogen (sau pur și simplu liniar ) dacă are următoarele proprietăți: $L$

se poate aplica termen cu termen la suma argumentelor: $L(x_{1}+x_{2})=L(x_{1})+L(x_{2})$ ;
un scalar (valoare constantă) poate fi scos din semnul operatorului: $c$ $L(cx)=cL(x)$ ;

Din a doua proprietate rezultă că proprietatea este adevărată pentru un operator liniar omogen . $L(0)=0$

Un operator se numește neomogen liniar dacă constă dintr-un operator liniar omogen cu adăugarea unui element fix: $L$

L\{x\}=L_{0}\{x\}+\varphi

unde este un operator liniar omogen. $L_0$

În cazul unei transformări liniare a funcțiilor discrete (secvențe, vectori), noile valori ale funcțiilor sunt funcții liniare ale vechilor valori : $y_{k}$ $x_k$

y_{k}=\sum _{{l=1}}^{n}T_{{kl}}\,x_{l}

În cazul mai general al funcțiilor continue, matricea de greutate bidimensională ia forma unei funcții a două variabile și se numește nucleul transformării integrale liniare: $K(t,\;\omega )$

\varphi (t)=\int \limits _{V}\!K(t,\omega )f(\omega )\,d\omega =K\{f(\omega )\}.

Funcția operand în acest caz se numește funcție spectrală . Spectrul poate fi, de asemenea, discret, caz în care este înlocuit cu un vector . În acest caz, este reprezentabil printr-o serie finită sau infinită de funcții: $f(\omega)$ $f(\omega)$ $W$ $\varphi (t)$

\varphi (t)=\sum _{{i=1}}^{n}T_{i}(t)w_{i}.

Operator zero

Operatorul care atribuie fiecărui vector un vector nul este evident liniar; se numeste operator nul [1] . $O$ ${\mathbf {a}}$ $\mathbf {0}$

Operator de identitate (identitate)

Operatorul care asociază fiecare vector cu vectorul în sine este evident liniar; este numit operator de identitate sau identitate. $E$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {a}}$

Un caz special al unui operator liniar care returnează operandul neschimbat:

E{\mathbf {a}}={\mathbf {a}},

adică modul în care operatorul matricei este definit de egalitate

\sum _{k}E_{{ik}}\,a_{k}=a_{i}

și, ca operator integral, prin egalitate

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!E(x,t)a(t)\,dt=a(x)

Matricea de identitate este scrisă în cea mai mare parte cu un simbol ( simbolul Kronecker ). Avem: la și la . $E_{{ik}}$ $\delta _{{ik}}=\delta _{{ki}}$ $\delta _{{ik}}=1$ $i=k$ $\delta _{{ik}}=0$ $i\neq k$

Nucleul unității este scris ca ( funcția delta ). peste tot cu excepția , unde funcția devine infinită și, în plus, astfel încât $E(x,t)$ $E(x,t)=\delta (tx)$ $\delta(xt)=0$ $x=t$

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!\delta (xt)\,dt=1

Înregistrare

În matematică și tehnologie, forma condiționată a operatorilor de scriere, similară simbolismului algebric, este utilizată pe scară largă. Un astfel de simbolism face posibilă, într-o serie de cazuri, evitarea transformărilor complexe și scrierea formulelor într-o formă simplă și convenabilă. Argumentele unui operator se numesc operanzi , numărul de operanzi se numește aritatea operatorului (de exemplu, unic, binar). Scrierea operatorilor poate fi sistematizată astfel:

prefix : unde operatorul este primul și operanzii urmează, de exemplu:

Q(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n});

postfix : dacă caracterul operator urmează operanzii, de exemplu:

(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\;Q;

infix : operator inserat între operanzi, utilizat în principal cu operatorii binari:

x_{1}\;Q\;x_{2};

pozițional : semnul operatorului este omis, operatorul este implicit prezent. Cel mai adesea, operatorul de produs (variabile, valoare numerică pe unitate fizică, matrice, compoziția funcției) nu este scris, de exemplu, 3 kg. Această capacitate a unui singur operator de a acționa asupra entităților eterogene este realizată prin supraîncărcarea operatorului ;
indice sau superscript în stânga sau în dreapta; utilizat în principal pentru exponențiere și selecția elementelor vectoriale prin index.

După cum puteți vedea, notația operatorului ia adesea o formă prescurtată de la notația convențională pentru funcții. Când se utilizează notația prefixă sau postfixă, parantezele sunt omise în majoritatea cazurilor dacă se cunoaște aritatea operatorului. Deci, un singur operator peste o funcție este de obicei scris pentru concizie în loc de ; parantezele sunt folosite pentru claritate, de exemplu, operarea pe produs . , acţionând asupra , este de asemenea scris . Caracterele speciale sunt introduse pentru a desemna unii operatori, de exemplu, unare (factorial „!”, în dreapta operandului), (negație, la stânga) sau simboluri caligrafice , ca în cazul transformării Fourier a unei funcții . Exponentiația poate fi gândită ca un operator binar a două argumente sau ca o putere sau funcție exponențială a unui argument. $Q$ $f$ $Qf$ $Q(f)$ $Q(fg)$ $Q$ $f(x)$ $(Qf)(x)$ $n!$ $-n$ ${\mathcal {F}}\{f(t)\}$ $n^{x}$

Simbol operator diferenţial liniar

Simbolul unui operator diferențial liniar asociază un polinom cu un operator diferențial, în linii mari, înlocuind compoziția derivatelor parțiale cu produsul variabilelor asociate acestora. Monomiile superioare ale simbolului operatorului (simbolul principal al operatorului) reflectă comportamentul calitativ al soluției ecuației diferențiale parțiale corespunzătoare acestui operator. Ecuațiile diferențiale parțiale eliptice liniare se caracterizează prin faptul că simbolul lor principal nu ajunge niciodată la 0.

Fie și să fie multi-indici și . Apoi punem $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$

{\begin{aligned}D^{\alpha }x^{\beta}&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n }}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{ 1))\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n))}{\partial x_{n}^{\alpha _{n))))x_{n}^{\beta _{n }}.\end{aliniat}}

Fie un operator de ordin diferenţial liniar pe spaţiul euclidian . Atunci este un polinom în derivată , în notație multi-index se va scrie ca $P$ $k$ $\mathbb {R} ^{d)$ $P$ $D$

P=p(x,D)=\sum _{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }.

Un polinom , prin definiție, este un caracter complet : $p$ $P$

\sigma P(\xi )=p(x,\xi )=\sum _{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }.

Simbolul principal al operatorului este format din monomii de grad maxim : $\sigma _{P}$

\sigma _{P}(\xi )=\sum _{{|\alpha |=k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }

și este partea din simbolul operatorului complet care se transformă ca un tensor la schimbarea coordonatelor.

Vezi și

Lista operatorilor (matematici)
Operator potențial

Note

↑ Shilov G. E. Analiză matematică. Curs special. - M .: Fizmatlit, 1961. - C. 203

Literatură

(1995) Operator. Dicţionar enciclopedic matematic. Ch. ed. Yu. V. Prohorov. M.: „Marea Enciclopedie Rusă”.