Orbifold

Orbifold , sau orbifold , - vorbind informal, aceasta este o varietate cu singularități care arată ca un factor al spațiului euclidian de către un grup finit.

Unul dintre obiectele de studiu în topologia algebrică , geometria algebrică și diferențială , teoria singularității .

Orbifold și manifold (comparație de definiții)

Un orbifold este definit ca un spațiu topologic Hausdorff (numit spațiul subiacent al unui orbifold) și un set distins de mapări deschise (numite atlas ) astfel încât imaginile să formeze o acoperire a spațiului . $X$ $\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\subset \mathbb{R} ^{n}\to X$ $\varphi _{\alpha }(U_{\alpha })$ $X$

Atlasul trebuie să satisfacă un anumit set de proprietăți, pe care le descriem informal.

Spre deosebire de soiuri, hărțile nu sunt homeomorfisme, dar pentru fiecare hartă există un grup finit care acționează asupra ei și se mapează la sine. De asemenea, pentru orbifoldurile dintre diagrame, există homeomorfisme de comparație, dar, spre deosebire de soiuri, acestea nu sunt unice și sunt traduse unele în altele sub acțiunea grupurilor corespunzătoare. $\varphi _{\alpha }$ $\Gamma _{\alpha }$ $\mathbb {R} ^{n}$ $U$

Notă

O orbifold riemanniană poate fi definită foarte pe scurt, și anume ca un spațiu izometric local față de un factor al unei varietăți riemanniane în raport cu un grup finit de izometrie . Pe baza acestei definiții, se poate construi o definiție a unui orbifold fără o metrică. [unu]

Exemple

O pereche de varietăți cu acțiunea unui grup de diffeomorfism discret definește o orbifold cu spațiu subiacent . $M$ $\Gamma$ $M/\Gamma$
- Astfel de orbifolduri se numesc bune , dacă o astfel de reprezentare nu există, atunci orbifoldul se numește rău .
Exemple de orbifolduri cu o sferă bidimensională ca spațiu subiect pot fi obținute prin specificarea a două hărți și pentru numere naturale și . ${\mathbb S}^{2}={\hat {\mathbb C))$ $f,\;g\colon {\mathbb C}\la {\hat {\mathbb C))$ $f(z)=z^{m}$ $g(z)=1/z^{n}$ $m$ $n$
- Acest orbifold este bun dacă și numai dacă . $n=m$

Istorie

Orbifoldurile au fost luate în considerare pentru prima dată de , le-a numit V - manifolds Termenul „orbifold” ( în engleză orbifold ) a fost introdus mai târziu de Thurston .

Ambele au definit un orbifold ca un factor de acțiune multiplu al unui grup (în terminologia modernă, ei au definit „orbifolduri bune”). Mai târziu , André Hafliger a dat o definiție mai generală în ceea ce privește grupoizii , care este definiția modernă standard.

Note

↑ arXiv : 1801,03472

Literatură

Arnold, V. I. Particularitățile causticelor și fronturilor de undă. — M.: FAZIS, 1996. — 334 p. - ISBN 978-5-7036-0021-4 .
Kaku, Michio. Introducere în teoria superstringurilor / per. din engleza. G. E. Arutyunova, A. D. Popova, S. V. Chudova; ed. I. Ya. Arefieva. — M .: Mir , 1999. — 624 p. — ISBN 5-03-002518-9 .
Ketov, S. V. Introducere în teoria cuantică a corzilor și a supercordurilor. - Novosibirsk: Nauka, 1990. - 368 p. — ISBN 5-02-029660-0 .
Scott P. Geometrie pe varietati tridimensionale. — M.: Mir, 1986.
Dixon L., Harwey JA, Vafa C., Witten E. Strings on orbifolds // Nucl. Phys., 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.