Topologie algebrică

Topologia algebrică (nume învechit: topologie combinatorie ) este o secțiune de topologie care studiază spațiile topologice comparându-le cu obiecte algebrice ( grupe , inele etc.), precum și comportamentul acestor obiecte sub acțiunea diferitelor operații topologice.

Metode de bază

Metodele de topologie algebrică se bazează pe presupunerea că structurile algebrice generale sunt mai simple decât cele topologice.

Un instrument important în topologia algebrică este așa-numitele grupuri de omologie (de exemplu, simplială sau singulară). Fiecare spațiu topologic corespunde în fiecare dimensiune propriului său grup de omologie abeliană , iar fiecare mapare continuă corespunde unui homomorfism de grup , iar compoziția mapărilor corespunde compoziției homomorfismelor , iar maparea identică corespunde homomorfismului identic . În limbajul teoriei categoriilor , aceasta înseamnă că grupul --lea de omologie este un functor covariant de la categoria spațiilor topologice la categoria grupurilor abeliene. $X$ $n$ $H_{n}(X)$ $f:X\la Y$ $f_{*}:H_{n}(X)\la H_{n}(Y)$ $fg$ $f_{*}g_{*}$ ${\mathrm {id}}$ ${\mathrm {id}}_{*}$ $n$

Pe lângă diferitele teorii de omologie ( omologia extraordinară , cum ar fi teoria sau teoria bordismului , au devenit acum foarte importante ), grupurile de homotopie sunt importante pentru topologia algebrică . Dintre acestea, principalul este așa-numitul grup fundamental , care, spre deosebire de grupurile de toate celelalte dimensiuni, poate fi non-abelian. $K$ $\pi _{n}(X)$ $\pi _{1}(X)$

Un exemplu de tehnică

Un exemplu clasic de aplicare a metodelor de topologie algebrică este demonstrarea teoremei punctului fix a lui Brouwer . Afirmația teoremei este că orice mapare continuă a unei bile dimensionale închise în sine are un punct fix, adică . $n$ $f\colon D_{n}\to D_{n}$ $\există x\colon f(x)=x$

Pentru demonstrație, se folosește următoarea lemă: nu există retragere a unei bile -dimensionale pe granița ei, o sferă -dimensională (o astfel de mapare continuă cea pentru toate punctele graniței). Într-adevăr: dacă maparea nu are puncte fixe, atunci este posibil să se construiască o mapare a unei mingi pe o sferă desenând pentru fiecare punct al mingii o rază care iese și trece prin (în absența punctelor fixe, acestea sunt puncte diferite); fie punctul de intersecție al razei cu sfera și . Maparea este continuă, iar dacă aparține sferei, atunci . Astfel, se obține o retragere a unei mingi pe o sferă, ceea ce este imposibil de lemă. Prin urmare, există cel puțin un punct fix. $n$ $D_{n}$ $(n-1)$ $S_{{n-1}}$ $g:D_{n}\la S_{n-1},$ $g(x)=x$ $f$ $g$ $X$ $f(x)$ $X$ $y$ $S_{{n-1}}$ $g(x)=y$ $g(x)=y$ $X$ $g(x)=x$

Pentru a demonstra lema, se presupune că există o astfel de retragere . Pentru a încorpora o sferă într-o minge , este valabilă următoarea proprietate: compoziția mapărilor este maparea identică a sferei (mai întâi , apoi ). În plus, se arată că , și . Atunci maparea va fi o mapare la 0, dar, pe de altă parte, deoarece , avem — nu este un homomorfism zero, ci un izomorfism identic. $g$ $i(x)=x$ $gi={\mathrm {id}}$ $i$ $g$ $H_{{n-1}}(S_{{n-1}})={\mathbf {Z}}$ $H_{{n-1}}(D_{n})=0$ $g_{*}:H_{{n-1}}(D_{n})\la H_{{n-1}}(S_{{n-1}})$ $gi={\mathrm {id}}$ $g_{*}i_{*}={\mathrm {id}}_{*}:{\mathbf {Z}}\la {\mathbf {Z}}$

Sunt cunoscute și dovezi non-algebrice ale teoremei lui Brouwer, dar introducerea omologiei a făcut imediat ușoară demonstrarea multor afirmații care anterior păreau fără legătură între ele.

Istorie

Unele teoreme de topologie algebrică erau deja cunoscute lui Euler , de exemplu, că pentru orice poliedru convex cu numărul de vârfuri , muchii și fețe , . $V$ $E$ $F$ $V-E+F=2$

Gauss și Riemann au fost interesați de întrebări topologice .

Dar rolul principal în crearea topologiei algebrice ca știință a fost jucat de Poincaré - el este cel care deține conceptele de omologie simplială și grupul fundamental. Contribuții mari au fost aduse de Alexander , Veblen , Lefschetz , Whitehead , Borsuk , Gurevich , Steenrod , Eilenberg , Serre , Tom , Atiyah , Hirzebruch , Bott , Adams , Smale , Milnor , Quillen ; Dintre matematicienii sovietici/ruși, trebuie remarcați P. S. Aleksandrov , Kolmogorov , Pontryagin , Lyusternik , Rohlin , Novikov , Fomenko , Kontsevich , Voevodsky , Perelman .

Literatură

Vasiliev V. A. Introducere în topologie. — M.: Fazis, 1997
Wick J. W. Teoria omologiei. Introducere în topologia algebrică. — M.: MTsNMO, 2005
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Manual cu probleme de topologie Arhivat 19 februarie 2012 la Wayback Machine
Dold A. Prelegeri de topologie algebrică. — M.: Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă: Metode și aplicații. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometry: Methods of homology theory. — M.: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Izhevsk: RHD, 2001
Kosniewski C. Un curs inițial de topologie algebrică. — M.: Mir, 1983
Lefshetz S. Topologie algebrică. — M.: IL, 1949
Novikov P. S. Topologie. - Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - Izhevsk: Institutul de Cercetare în Calculatoare, 2002
Prasolov VV Elemente de teoria omologiei. — M.: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Topologie algebrică — homotopie și omologie. — M.: Nauka, 1985
Spanier E. Topologie algebrică. — M.: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Fundamentele topologiei algebrice. — M.: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curs de topologie homotopică. — M.: Nauka, 1989

Hatcher A., Topologie algebrică - M.: MTsMNO, 2011. (Original: Hatcher A. Topologie algebrică Arhivat 19 mai 2018 la Wayback Machine )

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”