Polinoame ortogonale

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

În matematică , o secvență de polinoame ortogonale este o succesiune infinită de polinoame reale

p_{0}(x),\p_{1}(x),\p_{2}(x),\\ldots

unde fiecare polinom are grad și, de asemenea, oricare două polinoame diferite ale acestei secvențe sunt ortogonale unul față de celălalt în sensul unui produs scalar dat în spațiu . $p_n(x)$ $n$ $L^{2}$

Conceptul de polinoame ortogonale a fost introdus la sfârșitul secolului al XIX-lea. în lucrările lui P. L. Chebyshev asupra fracțiilor continuate și dezvoltate ulterior de A. A. Markov și T. I. Stiltjes și a găsit diverse aplicații în multe domenii ale matematicii și fizicii .

Definiție

Ortogonalitate cu greutate

Fie un interval pe axa reală (finit sau infinit). Acest interval se numește interval de ortogonalitate . Lăsa $(a,b)$

w : ~(a,b) \to \mathbb{R}

o funcție continuă strict pozitivă dată în interiorul intervalului. O astfel de funcție se numește greutate sau pur și simplu greutate . Funcția este legată de spațiul funcțiilor pentru care converge integrala $(a,b)$ $w(x)$ $L_{{2}}$

\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 w(x) \; dx < \infty

În spațiul rezultat, puteți introduce produsul scalar după formula

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx

pentru funcții reale,

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx

pentru funcţii cu valori complexe.

Dacă produsul scalar al două funcții este egal cu zero , atunci astfel de funcții se numesc ortogonale cu greutate . De regulă, numai funcțiile reale sunt considerate printre polinoamele ortogonale. $\langle f,g\rangle =0$ $w(x)$

Formulare clasică

Sistem polinomial

p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x),\cdots

se numeste ortogonal daca

$p_n(x)$ este un polinom de grad , $n$
$\langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}$ , unde este simbolul Kronecker , este factorul de normalizare. $\delta _{{mn}}$ $h_{{n}}$

Se spune că o bază ortogonală este ortonormală dacă toate elementele sale au o normă unitară . Unele dintre polinoamele clasice prezentate mai jos pot fi normalizate conform unei alte reguli. Pentru astfel de polinoame, valorile diferă de unitate și sunt enumerate în tabelul de mai jos. $||p_n||=h_n=1$ $h_{n}$

Proprietăți generale ale secvențelor de polinoame ortogonale

Relații recurente

Orice polinoame ortogonale satisfac următoarea formulă recurentă relaționând trei polinoame consecutive din sistem:

{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},

Unde

A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n -1}h_{n-1}},

r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle

k_n

și sunt coeficienții la termeni și în polinom

k'_{n)

x^n

x^{{n-1}}

p_{n}(x).

Această formulă rămâne valabilă pentru , dacă punem . $n=0$ $p_{-1}(x)=0$

Dovada

Să demonstrăm că pentru orice n există astfel de coeficienți a , b și c pe care ultima relație de recurență îi are.

Alegem a astfel încât coeficientul lui at din polinom să dispară $x^{n+1}$ $p_{n+1}(x)$

a\ x\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

este un polinom de gradul al n -lea .

Alegem b astfel încât coeficientul lui at din polinom să dispară $x^n$ $p_{n+1}(x)$

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

- polinom (n-1) -gradul.

Extindem polinomul într-o serie (acest lucru este posibil, deoarece sistemul de polinoame ortogonale este complet)

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i p_i(x)

Expresia rezultată este înmulțită scalar cu puterile $p_j(x)$ $j\le n-1$

a\ \langle x\ p_n, p_j \rangle - b\ \langle p_n, p_j\rangle\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i \langle p_i, p_j \rangle

Reduceți expresia folosind ortogonalitatea polinoamelor și proprietatea de permutare a produsului scalar

a\ \langle p_n,\ xp_j \rangle\ =\ {\lambda}_j \langle p_j,\ p_j \rangle

Dacă , atunci polinomul are încă un grad mai mic decât n și este ortogonal cu . Prin urmare, pentru . $j < n-1$ $xp_j(x)$ $p_n(x)$ $\lambda_j = 0$ $j < n-1$

Astfel, coeficientul diferit de zero este doar pentru și, stabilind , obținem relația dorită

j=n-1

c = \lambda_{n-1}

p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_n(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x)

Christoffel - Formula Darboux

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1} (x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{xy}$ ,

sau când $y\la x$

$\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_ {n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\dreapta]$

Rădăcinile polinoamelor

Toate rădăcinile polinomului sunt simple, reale și toate se află în intervalul de ortogonalitate . $p_n(x)$ $\stanga[a;b\dreapta]$

Dovada

Să presupunem că în interiorul intervalului de ortogonalitate acesta își schimbă semnul numai în puncte. Apoi există un polinom de grad astfel încât . Pe de altă parte, un polinom poate fi reprezentat ca o combinație liniară de polinoame , ceea ce înseamnă că este ortogonal , adică . Contradicția rezultată dovedește afirmația noastră. $p_n(x)$ $m<n$ $s_{m}(x)$ $m$ $p_{n}(x)s_{m}(x)\geq 0$ $s_{m}(x)$ $p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{m}(x)$ $s_{m}(x)$ $p_n(x)$ $\langle p_{n}(x), s_{m}(x)\rangle =0$

Între două rădăcini consecutive ale polinomului există exact o rădăcină a polinomului și cel puțin o rădăcină a polinomului , pentru . $p_n(x)$ $p_{n+1}(x)$ $p_{m}(x)$ $m>n$

Minimitatea normei

Fiecare polinom dintr-o succesiune ortogonală are norma minimă dintre toate polinoamele de același grad și cu același prim coeficient. $p_n(x)$ $P_n(x)$

Dovada

Dat n , orice polinom p(x) de grad n cu același prim coeficient poate fi reprezentat ca

p(x) = p_n(x) + \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha}_i\ p_i(x).

Folosind ortogonalitatea, norma pătratului p(x) satisface

||p(x)||^2 = \langle p(x),p(x)\rangle = ||p_n(x)||^2 + \sum_{i=0}^{n-1} { \alpha}_i^2||p_i(x)||^2 \ge ||p_n(x)||^2.

Deoarece normele sunt pozitive, trebuie să luați rădăcinile pătrate ale ambelor părți și obțineți rezultatul.

Completitudinea sistemului

Sistemul de polinoame ortogonale este complet. Aceasta înseamnă că orice polinom de grad n poate fi reprezentat ca o serie $p_i(x)$ $S x)$

S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\p_i(x)

unde sunt coeficienții de expansiune. $\alfa$

Dovada

Demonstrat folosind inducția matematică. Alegem astfel încât să fie un polinom de grad mai mic decât . Mai departe de inducție. $\ {\alpha}_n$ $\ S(x)-{\alpha}_n P_n(x)$ $n$

Ecuații diferențiale care conduc la polinoame ortogonale

O clasă foarte importantă de polinoame ortogonale apare la rezolvarea unei ecuații diferențiale de următoarea formă:

${Q(x)}\,f''+{L(x)}\,f'+{\lambda}f=0,$

unde și sunt date polinoame de ordinul doi și, respectiv, primul și sunt funcții și coeficienți necunoscuti. Această ecuație se numește problema Sturm-Liouville și poate fi rescrisă în forma ei mai standard $Q(x)$ $L(x)$ $f(x)$ $\lambda$

$(R(x)y')'+W(x)\,\lambda \,y=0,$

unde soluția acestei ecuații conduce la un set de valori proprii și un set de funcții proprii cu următoarele proprietăți: $R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)))\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)} {Q(x)}}.$ ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \dots$ $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$

$P_n(x)$ este un polinom de grad n în funcție de ${\lambda}_n$

succesiunea este ortogonală cu funcția de greutate $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ $W(x)$

Intervalul de ortogonalitate depinde de rădăcinile polinomului Q , iar rădăcina L este în interiorul intervalului de ortogonalitate.

Numerele și polinoamele pot fi obținute din formule $\lambda_n$ $P_n(x)$

{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right)

P_{n}(x)={\frac {1}{e_{n}\,W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ stânga(W(x)[Q(x)]^{n}\dreapta)

Formula lui Rodrigues .

O ecuație diferențială are soluții netriviale numai dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții. În toate aceste cazuri, la schimbarea scarii și/sau deplasarea domeniului de definiție și alegerea metodei de normalizare, polinoamele de soluție sunt reduse la un set limitat de clase, care se numesc polinoame ortogonale clasice.

1. Polinoame asemănătoare iacobice Q este un polinom de ordinul doi, L este de ordinul întâi. Rădăcinile lui Q sunt distincte și reale, rădăcina lui L se află strict între rădăcinile lui Q. Primii coeficienți Q și L au același semn. Folosind o transformare liniară, ecuația se reduce la cu un interval de ortogonalitate . Soluțiile sunt polinoame Jacobi sau cazurile lor speciale , polinoame Gegenbauer , Legendre sau Chebyshev de ambele tipuri , .

Q(x)=1-x^2

[-1,1]

P_n^{(\alpha, \beta)}(x)

C_n^{(\alpha)}(x)

P_n(x)

T_{n}(x)

U_{n}(x)

2. Polinoame asemănătoare lui Laguerre Q și L sunt polinoame de ordinul întâi. Rădăcinile lui Q și L sunt diferite. Primii coeficienți Q și L au același semn dacă rădăcina lui L este mai mică decât rădăcina lui Q și invers. Reduce la și intervalul de ortogonalitate . Soluțiile sunt polinoame Laguerre generalizate sau cazul lor particular, polinoame Laguerre .

Q(x)=x

[0,\infty)

L_n^{(\alpha)}(x)

L_n(x)

3. Polinoame hermitiene Q este o constantă diferită de zero, L este un polinom de ordinul întâi. Primii coeficienți Q și L au semnul opus. Reduce la și intervalul de ortogonalitate . Soluțiile sunt polinoame Hermite .

Q(x)=1

(-\infty,\infty)

H_n(x)

Derivate de polinoame ortogonale

Notați ca derivata m -a a polinomului . Derivata este un polinom de grade și are următoarele proprietăți: $P_n^{m}(x)$ $P_n(x)$ $P_n^{m}(x)$ $nm$

ortogonalitatea

Pentru un m dat , șirul de polinoame este ortogonală cu funcția de greutate

P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \dots

W(x)[Q(x)]^m

formula lui Rodrigue

P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{nm}}{dx^{nm}}\left(W(x)[ Q(x)]^m\dreapta)

ecuație diferențială

{Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0

, Unde

y(x)=P_n^{m}(x)

ecuație diferențială de al doilea fel

(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0

, Unde

y(x)=P_n^{m}(x)

relații de recurență (pentru comoditate, coeficienții a , b și c omit indicii n și m )

P_{n}^{m}(x)=aP_{n+1}^{m+1}(x)+bP_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1 }^{m+1}(x),

P_{n}^{m}(x)=(ax+b)P_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),

Q(x)P_{n}^{m+1}(x)=(ax+b)P_{n}^{m}(x)+cP_{n-1}^{m}(x) ).

Polinoame ortogonale clasice

Polinoamele ortogonale clasice, care derivă din ecuația diferențială descrisă mai sus, au multe aplicații importante în domenii precum fizica matematică, metodele numerice și multe altele. Definițiile și principalele proprietăți ale acestora sunt prezentate mai jos.

polinoame Jacobi

Polinoamele Jacobi sunt notate , unde parametrii și numerele reale sunt mai mari decât −1. Dacă și nu sunt egale, polinoamele nu mai sunt simetrice față de punctul . $P_n^{(\alpha, \beta)}(x)$ $\alfa$ $\beta$ $\alfa$ $\beta$ $x=0$

Funcția de pondere pe intervalul de ortogonalitate $W(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ $[-1,1]$

Ecuatii diferentiale

(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0

Valori proprii

\lambda_n = n(n+1+\alpha+\beta)

Formula recurentă

P_{n+1}(x)=(A_{n}\,x+B_{n})\,P_{n}(x)-C_{n}\,P_{n-1}( X),

Unde

A_{n}={\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha + \beta )}},

B_{n}={\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta)}{2(n+1) (2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}},

C_{n}={\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}}

Normalizare

P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac {2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1 )} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\ !1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \ qquad e_n=(-2)^n\,n!

Polinoame Gegenbauer

Polinoamele Gegenbauer sunt notate cu , unde parametrul este un număr real mai mare decât −1/2. Este derivat din polinoame Jacobi pentru parametri egali și $C_n^{(\alpha)}(x)$ $\alfa$ $\alfa$ $\beta$

$C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2 \alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.$

Polinoamele de tip Jacobi rămase sunt un caz special al polinoamelor Gegenbauer cu un parametru ales și normalizarea corespunzătoare. $\alfa$

Funcția de pondere pe intervalul de ortogonalitate $W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2}$ $[-1,1]$

Ecuatii diferentiale

(1-x^2)\,y'' - (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0

Valori proprii

\lambda_n = n(n+2\alpha)

Formula recurentă

(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x\,C_{n}^{(\alpha )}(x) -(n+2\alpha -1)\,C_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalizare

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )))

dacă

\alpha\ne0,\qquad

h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma( n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{ 1}{2}+\alpha)} {\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}

Alte proprietăți

C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \ \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Legendre polinoame

Polinoamele Legendre sunt notate și sunt un caz special de polinoame Gegenbauer cu parametru $P_n(x)$ $\alpha=1/2$

$P_{n}(x)=C_{n}^{(1/2)}(x).$

Funcția de pondere pe intervalul de ortogonalitate $W(x)=1$ $[-1,1]$

Ecuatii diferentiale

(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\, y=0

Valori proprii

\lambda_n = n(n+1)

Formula recurentă

(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)

Normalizare

P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!

Primele câteva polinoame

P_{0}(x)=1;

P_{1}(x)=x;

P_2(x)=(3x^2-1) / 2;

P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;

P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;

Polinoame Chebyshev

Polinomul Chebyshev este adesea folosit pentru a aproxima funcțiile ca un polinom de grad , care se abate cel puțin de la zero pe interval. $T_{n}(x)$ $n$ $[-1,1]$

$T_{n}(x)=\cos(n\,arccos(x)).$

Este un caz special al polinomului Gegenbauer normalizat pentru parametru $\alpha \la 0$

$T_{n}(x)=\lim _{\alpha \to 0}n\,\Gamma (\alpha )\,C_{n}^{(\alpha )}.$

Funcția de pondere pe intervalul de ortogonalitate $W(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ $[-1,1]$

Ecuație diferențială

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Valori proprii

\lambda_n = n^2

Formula recurentă

T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)

Normalizare

T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{ \begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\right. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi))

Polinomul Chebyshev de al doilea fel este caracterizat ca un polinom, a cărui integrală a valorii absolute se abate cel mai puțin de la zero pe interval. $U_{n}(x)$ $[-1, +1]$

$U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'$

Funcția de pondere pe intervalul de ortogonalitate $W(x)=(1-x^2)^{1/2}$ $[-1,1]$
Ecuație diferențială

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Normalizare

U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2 )}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}

Polinoame Laguerre

Polinoamele Laguerre asociate sau generalizate sunt notate unde parametrul este un număr real mai mare decât -1. Pentru polinoamele generalizate sunt reduse la polinoamele Laguerre obișnuite $L_n^{(\alpha)}(x)$ $\alfa$ $\alpha = 0$

$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).$

Funcția de pondere pe intervalul de ortogonalitate $W(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ $[0,\infty)$

Ecuatii diferentiale

x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (x^{\alpha +1}\,e^{ -x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0

Valori proprii

\lambda_n = n

Formula recurentă

(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )} (x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalizare

k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!

Alte proprietăți

L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Polinoame Hermite

Funcția de pondere pe intervalul de ortogonalitate $W(x)=e^{-x^2}$ $[-\infty,\infty]$

Ecuatii diferentiale

y''-2xy'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2} }\,\lambda \,y=0

Valori proprii

\lambda_n = 2n

Formula recurentă

H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)

Normalizare

k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n

Primele câteva polinoame

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

Construcția de polinoame ortogonale

Procesul de ortogonalizare Gram-Schmidt

Un sistem de polinoame ortogonale poate fi construit prin aplicarea procesului Gram-Schmidt unui sistem de polinoame după cum urmează. Să definim un proiector ca $f_1, f_2, \ldots, f_k$ $g_k(x)=x^k$

\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g (x) W(x) \; dx \over \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x)

apoi polinoamele ortogonale se calculează succesiv conform schemei

\begin{align} f_1 & = g_1, \\ f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\ f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\, (g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\ & {}\ \ \vdots \\ f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm {proj}_{f_j}\,(g_k). \end{align}

Acest algoritm aparține algoritmilor instabili numeric . La calcularea coeficienților de expansiune, erorile de rotunjire și erorile de integrare numerică se acumulează odată cu creșterea numărului polinomului.

După momentele funcției de greutate

Funcția de pondere definită pe interval determină în mod unic sistemul de polinoame ortogonale până la un factor constant. Notează prin numere $w(x)$ $\stanga[a;b\dreapta]$ $\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$

\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}

momentele funcției de greutate, atunci polinomul poate fi reprezentat ca: $p_n(x)$

p_n(x) = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_ {n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrice} \right]

Complexitatea calculării polinoamelor ortogonale este determinată de complexitatea calculării determinantului matricei . Implementările algoritmice existente ale calculului necesită un minim de operații. $O(n^{3})$

Dovada

Să demonstrăm că polinomul astfel definit este ortogonal tuturor polinoamelor de grad mai mic decât n . Luați în considerare produsul scalar pe pentru . $p_n(x)$ $p_n(x)$ $x^{k}$ $k<n$

\begin{align} \int_\mathbb{R} x^k p_n(x)\,d\mu & {} = \int_\mathbb{R} x^k \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{ n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \ \ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrice} \right] \,d\mu \\ \\ & {} = \int_\mathbb{R} \det\left[ \begin {matrice} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \ cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{ 2n-1} \\ x^k & x^{k+1} & x^{k+2} & \cdots & x^{k+n} \end{matrice} \right] \,d\mu \ \ \\ & {} = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+ 1 } \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \ mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \displaystyle \int_\mathbb{R} x^k \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+1} \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R } x^{k+2} \, d\mu & \cdots & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+n} \, d\mu \end{matrix} \right] \\ \\ & {} = \det \left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \ \ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{ n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \mu_k & \mu_{k+1} & \mu_{k+2} & \cdots & \mu_{k+n} \end{matrix } \right] \\ \\ & {} = 0. \end{align}

Deoarece matricea are două rânduri potrivite pentru . $k<n$

Prin formule recurente

Dacă alegem normalizarea polinomului în așa fel încât coeficientul termenului principal să fie egal cu unu, relația de recurență poate fi rescrisă în următoarea formă: $p_n(x)$ $k_n$

{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},

Unde

\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}

Aplicații ale polinoamelor ortogonale

Polinoamele ortogonale sunt folosite pentru a construi formule exacte de cuadratura

$\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \aprox \sum\limits_{i=1}^{n} w_i f(x_i),$

unde și sunt nodurile și greutățile formulei de cuadratura. Formula de cuadratura este exactă pentru toate polinoamele până la și inclusiv gradul . În acest caz, nodurile sunt rădăcinile celui de-al n -lea polinom din șirul de polinoame ortogonale cu funcția de greutate . Greutățile sunt calculate din formula Christoffel-Darboux. $x_{i}$ $w_{i}$ $f(x)$ $2n-1$ $x_{i}$ $p_0(x),p_1(x),...$ $w(x)$ $w_{i}$

De asemenea, polinoamele Chebyshev de primul și al doilea tip sunt adesea folosite pentru a aproxima funcții. $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

Note

Link -uri

Gabor Szego. Polinoame ortogonale (nedefinite) . - Colocvium Publications - American Mathematical Society, 1939. - ISBN 0-8218-1023-5 .
Dunham Jackson. Seria Fourier și polinoamele ortogonale . - New York: Dover, 1941, 2004. - ISBN 0-486-43808-2 .
Refaat El Attar. Funcții speciale și polinoame ortogonale . — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9 .
Theodore Seio Chihara. O introducere în polinoamele ortogonale . - Gordon și Breach, New York, 1978. - ISBN 0-677-04150-0 .

Pentru citiri suplimentare

Ismail, Mourad EH Polinoame ortogonale clasice și cuantice într- o singură variabilă . - Cambridge: Cambridge University Press , 2005. - ISBN 0-521-78201-5 .
Vilmos Totik Polinoame ortogonale (nedefinite) // Studii în teoria aproximării. - 2005. - T. 1 . - S. 70-125 .
Bateman G., Erdeyi A. . Funcții Bessel, funcții cilindrice parabolice, polinoame ortogonale // Funcții transcendentale superioare. T. 2. / Per. din engleza. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1966. — 296 p.

Polinoame ortogonale
polinoame Bessel Polinoame Gegenbauer polinoame Kravchuk polinoame Laguerre Polinoame Legendre Polinoame Polachek polinoame Rogers polinoame Zernike Polinoamele Cebyshev polinoame Charlier Polinoame Hermite polinoame Jacobi