Cartografierea Poincaré
În teoria sistemelor dinamice , o ramură a matematicii , harta Poincaré (de asemenea , harta de succesiune , prima hartă de întoarcere ) este proiecția unei zone din spațiul fazelor asupra ei înșiși (sau pe o altă zonă) de-a lungul traiectoriilor (curbelor de fază) ale sistemului.
Luați în considerare o porțiune a suprafeței în spațiul de fază ( secțiunea Poincaré ) transversală la câmpul vectorial al sistemului (adică, neatingând câmpul; adesea se spune pur și simplu transversal ). Dintr-un punct de pe transversală, eliberăm traiectoria sistemului. Să presupunem că la un moment dat traiectoria a traversat din nou transversala pentru prima dată; notăm punctul de intersecție prin . Maparea Poincaré a unui punct asociază primul punct de întoarcere cu . Dacă traiectoria eliberată din nu se întoarce niciodată la transversală, atunci harta Poincaré în acel punct este nedefinită.
În mod similar, se poate defini o mapare Poincaré (cartografie de succesiune) nu numai de la o transversală la sine, ci și de la o transversală la alta.
Iterațiile mapării Poincaré de la unele transversale pe sine formează un sistem dinamic cu timp discret pe un spațiu de fază de dimensiune inferioară. Proprietățile acestui sistem sunt strâns legate de proprietățile sistemului original cu timp continuu (de exemplu, punctele fixe și periodice ale hărții Poincaré corespund traiectoriilor închise ale sistemului). Astfel, se stabilește o conexiune între câmpurile vectoriale și fluxurile acestora, pe de o parte, și iterațiile de cartografiere, pe de altă parte. Harta Poincaré este un instrument important pentru studierea sistemelor dinamice cu timp continuu.
Vezi și
Link -uri
- Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice cu o trecere în revistă a realizărilor recente / Per. din engleza. ed. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .