Paraboloid

Paraboloidul este un tip de suprafață de ordinul doi în spațiul euclidian tridimensional .

Un paraboloid poate fi caracterizat ca o suprafață neînchisă, necentrală (adică, fără centru de simetrie ) de ordinul doi.

Ecuații canonice ale unui paraboloid în coordonate carteziene :

z=tx^{2}+uy^{2},

unde și sunt numere reale care nu sunt egale cu zero în același timp.

t

u

în care:

dacă și de același semn, atunci paraboloidul se numește eliptic , un caz special de paraboloid eliptic în acest caz, suprafața este de obicei numită paraboloid de revoluție ; $t$ $u$ $t=u,$
dacă și de alt semn, atunci paraboloidul se numește hiperbolic ; $t$ $u$
dacă unul dintre coeficienți este zero, atunci paraboloidul se numește cilindru parabolic .

Secțiuni ale unui paraboloid prin planuri verticale (paralele cu axa ) de poziție arbitrară - parabole . $z$

Secțiunile unui paraboloid pe planuri orizontale paralele cu planul pentru un paraboloid eliptic sunt elipse , pentru un paraboloid de revoluție aceste intersecții sunt cercuri atunci când există o astfel de intersecție. $x,\y$

Intersecțiile pentru un paraboloid hiperbolic sunt hiperbole .

În cazuri particulare de intersecție, secțiunea se poate dovedi a fi o linie sau o pereche de linii (pentru un paraboloid hiperbolic sau o pereche de linii paralele pentru un cilindru parabolic) sau să degenereze într-un singur punct (pentru un paraboloid eliptic).

Paraboloid eliptic

Un paraboloid eliptic este o suprafață definită de o funcție de forma:

z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.

Un paraboloid eliptic poate fi descris ca o familie de parabole paralele cu ramuri în sus ale căror vârfuri descriu o parabolă, cu ramuri tot în sus (vezi figura).

Dacă , atunci paraboloidul eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotația parabolei în jurul axei sale de simetrie. $a=b$

Paraboloid hiperbolic

Paraboloid hiperbolic (numit „gipar” în construcție) - suprafața șai , descrisă într-un sistem de coordonate dreptunghiular printr-o ecuație de forma

z = \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2}

z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.

De asemenea, un paraboloid hiperbolic poate fi format prin deplasarea unei parabole ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos de-a lungul unei parabole ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus (vezi figura).

Un paraboloid hiperbolic este o suprafață reglată .

Suprafața generată de interpolarea biliniară a unei funcții în 4 puncte este un paraboloid hiperbolic.

Fapte interesante

Suprafața unui lichid dintr-un vas care se rotește uniform este un paraboloid al revoluției (care nu este motivul direct al numelui său).
Proprietatea unui paraboloid de revoluție este adesea folosită pentru a colecta un fascicul de raze paralel cu axa principală într-un punct - focalizare sau, dimpotrivă, pentru a forma un fascicul paralel de radiație de la o sursă focalizată. Funcționarea antenelor parabolice , a telescoapelor reflectorizante cu oglindă parabolică, a spoturilor , a farurilor auto , etc. se bazează pe acest principiu.Pentru mai multe detalii, vezi reflector (oglindă) .

Vezi și

Un hiperboloid este un alt tip de suprafață de ordinul doi.
Suprafețe de ordinul doi .
Forma pătrată .

Literatură

Delaunay B. N., Raikov D. A. Geometrie analitică, în două volume. — M., L.: Gostekhizdat , 1948, 1949.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometrie analitică. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Geometrie analitică. - M . : Editura MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 388 p. — ISBN 5-7038-1671-8 .