Amestecare (sisteme dinamice)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 6 august 2019; verificările necesită 3 modificări .

În teoria sistemelor dinamice , amestecarea  este proprietatea unui sistem de a „uita” informații despre starea inițială în timp. Mai precis, se face o distincție între amestecarea topologică și cea metrică . Prima se referă la teoria sistemelor continue și, grosier vorbind, afirmă că oricât de exactă este cunoscută poziția inițială a unui punct, în timp, posibila sa locație devine mult mai densă. Al doilea se referă la teoria sistemelor măsurabile - sisteme care păstrează o anumită măsură  - și afirmă că distribuția este absolut continuă în raport cu măsura (de exemplu, restricții asupra unui submult datcondiții inițiale) la iterații tinde spre măsura în sine .

Fie un atractor al unui sistem haotic pe care sunt date operatorul de evoluție a sistemului și o măsură invariantă . Segmentăm atractorul în 2 regiuni, iar Raportul măsurii punctelor din regiunea care, prin iterații ale operatorului de evoluție , au căzut în regiune se poate scrie după cum urmează:

Operatorul de evoluție este un amestec dacă la , valoarea nu depinde de alegerea regiunii și este determinată de relația la . Această formulă, din punct de vedere fizic, descrie estomparea oricărei zone a condițiilor inițiale asupra tuturor atractorilor . In limita, , masura imaginilor punctelor multimii din multime este egala cu masura multimii de pe atractor pentru multimi arbitrare si [1]

Definiții

Amestecare topologică

Prin definiție, se spune că un sistem dinamic (continuu) se amestecă topologic dacă, pentru oricare două mulțimi deschise nevide ,

sau, care este la fel,

În special, aceasta înseamnă că pentru orice set deschis dat și nevid , toate iterațiile cu un număr suficient de mare se dovedesc a fi -dense în spațiul fazelor.

Amestecarea topologică este o proprietate mai puternică decât tranzitivitatea . Astfel, o rotație irațională a unui cerc este tranzitivă, dar nu se amestecă.

Amestecare metrică

Prin definiție, se spune că o mapare măsurabilă care păstrează măsura este amestecată metric dacă pentru oricare două seturi măsurabile ,

În ceea ce privește funcțiile integrabile, acest lucru este echivalent cu a spune că pentru oricare două funcții ,

Ergodicitatea unei măsuri este o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru amestecarea metrică. Astfel, o rotație irațională a unui cerc își păstrează măsura Lebesgue ergodică , dar nu se amestecă metric.

Vezi și

Note

  1. M.Yu.Logunov, O.Ya.Butkovsky. Amestecare și exponenți Lyapunov ai sistemelor haotice.

Literatură