Amestecare (sisteme dinamice)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 6 august 2019; verificările necesită 3 modificări .

În teoria sistemelor dinamice , amestecarea este proprietatea unui sistem de a „uita” informații despre starea inițială în timp. Mai precis, se face o distincție între amestecarea topologică și cea metrică . Prima se referă la teoria sistemelor continue și, grosier vorbind, afirmă că oricât de exactă este cunoscută poziția inițială a unui punct, în timp, posibila sa locație devine mult mai densă. Al doilea se referă la teoria sistemelor măsurabile - sisteme care păstrează o anumită măsură - și afirmă că distribuția este absolut continuă în raport cu măsura (de exemplu, restricții asupra unui submult dat $\mu$ $\mu$ $\mu$ condiții inițiale) la iterații tinde spre măsura în sine . $\mu$

Fie un atractor al unui sistem haotic pe care sunt date operatorul de evoluție a sistemului și o măsură invariantă . Segmentăm atractorul în 2 regiuni, iar Raportul măsurii punctelor din regiunea care, prin iterații ale operatorului de evoluție , au căzut în regiune se poate scrie după cum urmează: $G$ $S(G)$ $\mu$ $B$ $W.$ $B$ $n$ $S$ $W,$

$D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W))).$

Operatorul de evoluție este un amestec dacă la , valoarea nu depinde de alegerea regiunii și este determinată de relația la . Această formulă, din punct de vedere fizic, descrie estomparea oricărei zone a condițiilor inițiale asupra tuturor atractorilor . In limita, , masura imaginilor punctelor multimii din multime este egala cu masura multimii de pe atractor pentru multimi arbitrare si [1] $S$ $n\rightarrow \infty$ $D_{n}$ $W,$ ${\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)))\rightarrow {\frac {\mu (B)}{\mu (G)} }$ $n\rightarrow \infty$ $B$ $G$ $n\rightarrow \infty$ $B$ $W$ $B$ $G$ $B$ $W.$

Definiții

Amestecare topologică

Prin definiție, se spune că un sistem dinamic (continuu) se amestecă topologic dacă, pentru oricare două mulțimi deschise nevide , $f:X\la X$ $A,B\subset X$

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset,

sau, care este la fel,

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset,

În special, aceasta înseamnă că pentru orice set deschis dat și nevid , toate iterațiile cu un număr suficient de mare se dovedesc a fi -dense în spațiul fazelor. $\varepsilon >0$ $A$ $A$ $\varepsilon$

Amestecarea topologică este o proprietate mai puternică decât tranzitivitatea . Astfel, o rotație irațională a unui cerc este tranzitivă, dar nu se amestecă.

Amestecare metrică

Prin definiție, se spune că o mapare măsurabilă care păstrează măsura este amestecată metric dacă pentru oricare două seturi măsurabile , $f:(X,{\mathcal {A)],\mu )\la (X,{\mathcal {A)),\mu )$ $A,B\in {\mathcal {A}}$

\mu (f^{-n}(A)\cap B)\la \mu (A)\mu (B),\quad n\la \infty .

În ceea ce privește funcțiile integrabile, acest lucru este echivalent cu a spune că pentru oricare două funcții , $\varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )$

\int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\la \int _{X}\varphi \,d\mu \ cdot \int _{X}\psi \,d\mu .

Ergodicitatea unei măsuri este o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru amestecarea metrică. Astfel, o rotație irațională a unui cerc își păstrează măsura Lebesgue ergodică , dar nu se amestecă metric. $\mu$

Vezi și

Tranzitivitate (sisteme dinamice)
Teoria spectrală a sistemelor dinamice

Note

↑ M.Yu.Logunov, O.Ya.Butkovsky. Amestecare și exponenți Lyapunov ai sistemelor haotice.

Literatură

Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V., Teoria ergodică.
Sinai Ya. G., Probleme moderne ale teoriei ergodice, Moscova: FizMatLit, 1995, p. 24.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice / trad. din engleza. A. Kononenko cu participarea lui S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .