Măsură invariantă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 iunie 2018; verificările necesită 5 modificări .

Măsură invariantă – în teoria sistemelor dinamice , măsură definită în spațiul fazelor , asociată cu un sistem dinamic și care nu se modifică în timp în timpul evoluției stării unui sistem dinamic în spațiul fazelor . Conceptul de măsură invariantă este utilizat în medierea ecuațiilor de mișcare , în teoria exponenților Lyapunov , în teoria entropiei metrice și a dimensiunilor fractale probabilistice [1] .

Definiție

În teoria sistemelor dinamice , o măsură pe un spațiu se spune că este invariantă pentru o mapare măsurabilă dacă coincide cu imaginea sa [2] . Prin definiție , asta înseamnă că $\mu$ $(X,\Sigma)$ $f:(X,\Sigma)\la (X,\Sigma)$ $f_* \mu$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f^{-1}(A)). \qquad(*)

Pentru mapările reversibile, trecerea la preimagine în (*) poate fi înlocuită cu trecerea la imagine: dacă maparea este măsurabilă și în sensul de , atunci definiția este echivalentă $f^{-1}$ $(X,\Sigma)$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f(A)).

Cu toate acestea, în situația generală, definiția nu poate fi schimbată în acest fel: măsura Lebesgue pe cerc este invariantă sub maparea de dublare , dar măsura arcului este diferită de măsura imaginii sale . $S^{1}$ $x\mapsto 2x \mod 1$ $[0,1/3]$ $[0,2/3]$

Exemple

Afișaj [3] . Ecuația lui Perron-Frobenius are forma . Înlocuind această expresie în partea dreaptă, obținem: . Repetând această înlocuire o dată, obținem: . Această măsură este stabilă, adică o măsură continuă arbitrară va converge către ea. $x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}}\equiv f(x_{n})$ $p(x)={\frac {1}{2}}\left[p\left({\frac {x}{2}}\right)+p\left({\frac {x+1 {2}}\dreapta)\dreapta]$ $p(x)={\frac {1}{4}}\left[p\left({\frac {x}{4}}\right)+p\left({\frac {x+1 }{4}}\dreapta)+p\stanga({\frac {x+2}{4}}\dreapta)+p\stanga({\frac {x+3}{4}}\dreapta)\dreapta ]$ $n$ $p(x)={\frac {1}{2^{n)}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}p\left({\frac {x+ i }{2^{n}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } \int _{0}^{1}p(x)\,dx=1$
Afișează sau , [4] . Existența unei măsuri invariante continue stabile c este dovedită în mod similar. $x_{n+1}=1-2|x_{n}|,x\in [-1,1]$ $x_{n+1}=1-2|2x_{n}-1|$ $x\in [0,1](1)$ $p(x)=\mathrm {const}$
Cartografie logistică , [4] . Înlocuim , , obținem , , care poate fi transformată în forma (1). Prin urmare, pentru că există o densitate de probabilitate constantă continuă . Densitatea de probabilitate pentru rezultă din aceasta: . ${\displaystyle x_{n+1}=1-2x_{n}^{2))$ $x\in [-1,1]$ $x=-\cos \pi \theta$ $\theta \in [0,1]$ $-\cos \pi \theta _{n+1}=1-2(\cos \pi \theta _{n})^{2}=-\cos 2\pi \theta _{n)$ $\theta _{n+1}={\begin{cases}2\theta _{n},&\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2 \theta _{n},&\theta _{n}>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$ $\theta$ $p(\theta )=1$ $X$ $p(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}$