Teren privat

Câmpul coeficientilor (numit și câmpul relațiilor ) în algebra generală este definit pentru domeniul integrității ca cel mai mic câmp [1] [2] care conține câmpul coeficientilor pentru poate fi notat fie prin $R$ $R.$ $R$ $\operatorname {Frac} (R)$ $\operatorname {Quot} (R).$

Elementele câmpului coeficient pot fi (unic) construite constructiv din elemente ca clase de echivalență ale unei relații binare (vezi mai jos). $R$

Exemple

Exemplul clasic de domeniu de integritate este inelul de numere întregi ; cea mai mică extensie a acesteia la un câmp dă câmpul numerelor raționale ${\mathbb Q}.$
Să luăm ca un inel de numere întregi gaussiene de forma în care sunt numere întregi obișnuite. Atunci este câmpul numerelor gaussiene raționale . $R$ $a+bi,$ $a,b$ $\operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \)$
Câmpul de câte pentru orice câmp este izomorf cu câmpul original.
Să fie un câmp. Atunci inelul de polinoame cu coeficienți din acest câmp este întotdeauna un domeniu de integritate. Câmpul coeficientilor pentru este notat și numit câmpul funcțiilor raționale [3] . $K$ $K[X]$ $K[X]$ $K(X)$

Clădire

Câmpul de câte pentru domeniul integrității este construit în același mod ca și câmpul numerelor raționale pe baza inelului de numere întregi [4] (vezi Număr rațional#Definiție formală ). Să considerăm o mulțime de perechi ordonate de elemente și să definim o relație de echivalență pe ea , ca și pentru fracții: perechi și sunt echivalente dacă câmpul de câte este definit ca o mulțime de clase de echivalență ( inel de câte ). Clasa care contine o pereche , prin analogie cu fractiile obisnuite , va fi notata cu sau $R$ $a,b\în R\ (b\neq 0)$ $(a,b)$ $(c,d)$ $ad=bc.$ $\operatorname {Frac} (R)$ $(a,b),$ $a/b$ ${a \peste b}.$

Suma și este definită ca pentru fracții: Înmulțirea este definită în mod similar: Este ușor de verificat [4] : ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d))$ ${\frac {ad+bc}{bd)).$ ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.$

rezultatele acestor operațiuni nu depind de alegerea reprezentanților din clasa lor de echivalență;
adunarea este reversibilă, adică scăderea este întotdeauna posibilă;
clase și joacă rolul de zero și, respectiv, de unu; $0/b$ $a/a$
toate axiomele inelului sunt satisfăcute.

Prin urmare, este un inel comutativ . Conține un inel izomorf cu inelul original - pentru dovadă comparăm clasa care conține perechea $\operatorname {Frac} (R)$ $R$ $a\in R$ $a/1.$

În continuare, stabilim că fiecare clasă diferită de zero are un element invers care este definit în mod unic (în acest moment al demonstrației, se utilizează absența divizorilor zero ), iar acest fapt înseamnă că împărțirea este fezabilă. Astfel, structura construită este un câmp. ${a \peste b}$ ${b\peste a},$ $\operatorname {Frac} (R)$

Câmpul de coeficienti pentru o anumită zonă de integritate este unic până la izomorfism [4] .

O construcție similară poate fi făcută pentru orice inel comutativ, rezultatul este un inel de fracții , care, în general, nu este un câmp - printre elementele sale pot fi și ireversibile.

Proprietăți

Câmpul inelelor parțiale satisface următoarea proprietate universală : dacă h : → este un homomorfism injectiv al inelelor de la ' la câmpul , atunci există un homomorfism inel unic g : → care coincide cu h pe elemente . Această proprietate universală poate fi exprimată în următoarele cuvinte: câmpul de coeficienti este o modalitate standard de a face inversabile elementele unui inel , respectiv, inelul de coeficienti este o modalitate standard de a face un subset de elemente ale unui inel inversabil . $R$ $R$ $F$ $R$ $F$ $\operatorname {Quot} (R)$ $F$ $R$

Din punct de vedere al teoriei categoriilor, construcția câmpului de coeficient poate fi descrisă după cum urmează. Să considerăm o categorie ale cărei obiecte sunt domenii de integritate și ale cărei morfisme sunt homomorfisme injective ale inelelor. Există un functor de uitare din categoria câmpurilor la această categorie (deoarece toate homomorfismele de câmp sunt injective). Se pare că acest functor are un adjunct stâng și atribuie unui inel integral câmpul său de fracții.

Note

↑ Zarissky, Samuel, 1963 , p. 56.
↑ Stephan Foldes. Structuri fundamentale ale algebrei și matematicii discrete (engleză) . - 1994. - P. 128.
↑ Pierre Antoine Grillet. Algebră abstractă (nedefinită) . - 2007. - S. 124.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , p. 439-443.

Literatură

Zarissky O., Samuel P. Algebră comutativă. - M. : IL, 1963. - T. 1. - 374 p.
Kulikov L. Ya. Algebră și teoria numerelor: Proc. manual pentru institutele pedagogice. - M . : Şcoala superioară, 1979. - 559 p.

Link -uri

Kostrikin AI Câmpul relațiilor unui inel integral. Arhivat 7 decembrie 2018 la Wayback Machine // Introducere în algebră, § 9.5.4.3.1 . M.: Nauka, 1977, p. 233-236.