Funcția poligamă

O funcție poligamă de ordinul m în matematică este definită ca derivata ( m + 1) -a a logaritmului natural al funcției gamma ,

\psi ^{{(m)}}(z)={\frac {({\rm {d}}}^{m}}{({\rm {d}}}z^{m}}}\ psi (z)={\frac {{{\rm {d}}}^{{m+1}}}{{{\rm {d}}}z^{{m+1}}}}\ln \gamma (z)\;,

unde este funcția gamma și $\Gamma(z)$

\psi (z)=\psi ^{{(0)}}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)))

este o funcție digamma [1] , care poate fi definită și în termenii sumei următoarelor serii:

\psi (z)=\psi ^{{(0)}}(z)=-\gamma +\sum \limits _{{k=0}}^({\infty }}\left({\frac { 1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\dreapta)\;,

unde este constanta Euler-Mascheroni . Această reprezentare este valabilă pentru orice complex (în punctele specificate, funcția are singularități de ordinul întâi) [2] . ${\textstyle {\gamma )}$ $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ ${\textstyle {\psi (z))}$

Funcția poligamă poate fi definită și în termeni de suma seriei

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\sum \limits _{{k=0}}^{\infty }\ stil de afișare {{\frac {1}{(z+k)^{{m+1)))}}\;,\qquad m>0\;,

care se obține din reprezentarea pentru funcția digamma prin diferențiere față de z [1] . Această reprezentare este valabilă și pentru orice complexă (la punctele indicate, funcția are singularități de ordin ( m + 1)). Poate fi scris în termenii funcției zeta Hurwitz [1] , $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ ${\textstyle {\psi ^{{(m)))(z)))$

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.

În acest sens, funcția zeta Hurwitz poate fi utilizată pentru a generaliza funcția poligamă în cazul unui ordin arbitrar (neîntreg) m .

Rețineți că în literatură este uneori notat ca sau amorsat pentru derivate în raport cu z este uneori indicat . Funcția se numește funcția trigama , funcția tetragama, funcția pentagama, funcția hexagama etc. ${\textstyle {\psi ^{{(m)))(z)))$ ${\textstyle {\psi _{{m}}(z)))$ ${\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{{(1)))(z))}$ ${\textstyle {\psi ''(z)=\psi ^{{(2)))(z)))$ ${\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{{(3)}}(z)))$ ${\textstyle {\psi ''''(z)=\psi ^{{(4)))(z)))$

Reprezentare integrală

Funcția poligamă poate fi reprezentată ca

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m+1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{{ -zt}}}{1-e^{{-t}}}}{{\rm {d}}}t

Această reprezentare este valabilă pentru Re z >0 și m > 0 . Pentru m =0 (pentru funcția digamma ) reprezentarea integrală poate fi scrisă ca

\psi (z)=\psi ^{{(0)}}(z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{{-t}}-e^ {{-zt))}{1-e^{{-t)))){{\rm {d))}t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1 -t^{{z-1}}}{1-t}}{{\rm {d}}}t\;,

unde este constanta Euler-Mascheroni . ${\textstyle {\gamma )}$

Expansiuni asimptotice

Pentru ( ) este valabilă următoarea extindere folosind numere Bernoulli : $z\la\infty\;$ $\;|\operatorname {arg}\;{z}|<\pi$

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m-1}}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{ \frac {m!}{2z^{{m+1))))+\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{ {2k}}}{(2k)!\;z^{{2k+m}}}}\right]

Expansiunea seriei Taylor lângă argumentul egal cu unu are forma

\psi ^{{(m)}}(z+1)=\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{{m+k+1}}(m+k) !\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\;,

unde ζ denotă funcția zeta Riemann . Această serie converge pentru | z | < 1 și poate fi obținut din seria corespunzătoare pentru funcția zeta Hurwitz .

Valori private

Valorile funcției poligamă la valori întregi și jumătate întregi ale argumentului sunt exprimate în termenii funcției zeta Riemann ,

\psi ^{{(m)}}(1)=(-1)^{{m+1}}m!\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0

\psi ^{{(m)}}({\tfrac 12})=(-1)^{{m+1}}m!\;(2^{{m+1}}-1)\;\ zeta (m+1)\;,\qquad m>0\;,

și pentru funcția digamma (pentru m = 0) -

\psi (1)=\psi ^{{(0)}}(1)=-\gamma \;,

\psi ({\tfrac 12})=\psi ^{{(0)))({\tfrac 12})=-\gamma -2\ln {2}\;,

unde este constanta Euler-Mascheroni [1] . ${\textstyle {\gamma )}$

Pentru a obține valorile funcției poligamă pentru alte valori întregi (pozitive) și jumătate întregi ale argumentului, puteți utiliza relația de recurență de mai jos.

Alte formule

Funcția poligamă satisface relația recurentă [1]

\psi ^{{(m)}}(z+1)=\psi ^{{(m)}}(z)+{\frac {(-1)^{m}\;m!}{z^ {{m+1}}}}\;,

precum și formula complementului [1]

\psi ^{{(m)}}(1-z)+(-1)^{{m+1}}\;\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{ m}\pi ​​​​{\frac {{{\rm {d}}}^{m}}{({\rm {d}}}z^{m}}}\cot(\pi z)\; .

Funcția poligamă a unui argument multiplu are următoarea proprietate [1] :

\psi ^{{(m)}}(kz)={\frac {1}{k^{{m+1}}}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}} \psi ^{{(m)}}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),\qquad m>0

iar pentru funcția digamma ( ) este necesar să adăugați ln k [1] în partea dreaptă , $m=0$

\psi (kz)=\ln {k}+{\frac {1}{k}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}}\psi \left(z+{\frac { n}{k}}\dreapta).

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Eric W. Weisstein. Funcția Polygamma (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
↑ Eric W. Weisstein. Funcția Digamma (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Link -uri

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. §6.4 Funcții poligamă // Manual de funcții matematice (engleză) . - New York: Dover Publications , 1964. - ISBN 0-486-61272-4 .
Weisstein, Eric W. Polygamma Function (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .