Funcția zeta Hurwitz

În matematică , funcția zeta Hurwitz , numită după Adolf Hurwitz , este una dintre numeroasele funcții zeta care sunt generalizări ale funcției zeta Riemann . Formal, poate fi definită ca o serie de puteri pentru argumente complexe s , pentru Re( s ) > 1 și q , Re( q ) > 0:

\zeta (s,q)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{{s}}}}.

Această serie este absolut convergentă pentru valorile date ale lui s și q . Funcția zeta Riemann este un caz special al funcției zeta Hurwitz pentru q = 1.

Continuare analitică

Funcția zeta Hurwitz admite o continuare analitică la o funcție meromorfă , definită pentru tot complexul s , pentru s ≠ 1. În punctul s = 1, are un pol simplu cu restul de 1. Termenul constant al expansiunii seriei Laurent în vecinătatea punctului s = 1 este:

\lim _{{s\to 1}}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)} {\Gamma (q)}}=-\psi (q)

unde Γ( x ) este funcția gamma și ψ( x ) este funcția digamma .

Reprezentări în rânduri

O reprezentare convergentă în serie de puteri pentru q > −1 și un complex arbitrar s ≠ 1 a fost obținută în 1930 de Helmut Hasse [1]

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _ {{k=0}}^{n}(-1)^{k}{n \alegeți k}(q+k)^{{1-s}}.

Această serie converge uniform pe orice submulțime compactă a planului s complex către o întreagă funcție . Suma interioară poate fi reprezentată ca a n- a diferență finită pentru , adică : $q^{{1-s}}$

\Delta ^{n}q^{{1-s}}=\sum _{{k=0}}^{n}(-1)^{{nk}}{n \alege k}(q+k )^{{1-s}}

unde Δ este operatorul diferențelor finite . În acest fel

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n +1}}\Delta ^{n}q^{{1-s}}

={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{{1-s}}.

Reprezentări integrale

Funcția zeta Hurwitz are o reprezentare integrală sub forma transformării Mellin :

\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{{s-1}}e^{{ -qt}}}{1-e^{{-t}}}}dt

pentru Re( s )>1 și Re( q )>0.

Formula Hurwitz

\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{{-i\pi s/2}}\beta (x;s)+e^{{i\ pi s/2}}\beta (1-x;s)\dreapta]

Unde

\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n )^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{{2 \pi ix}})

Această reprezentare a funcției zeta Hurwitz este valabilă pentru 0 ≤ x ≤ 1 și s >1. Aici este polilogaritmul . ${\text{Li}}_{s}(z)$

Ecuație funcțională

Această ecuație funcțională raportează valorile funcției zeta Hurwitz la stânga și la dreapta dreptei Re( s )=1/2 în planul s complex . Pentru m și n natural astfel încât m ≤ n:

\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _ {{k=1}}^{n}\left[cos\left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\ zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]

adevărat pentru toate valorile lui s .

Seria Taylor

Derivata funcției zeta Hurwitz în raport cu al doilea argument este, de asemenea, exprimată în termenii funcției zeta Hurwitz:

{\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).

Deci seria Taylor este:

\zeta (s,x+y)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!)}}{\frac {\partial ^{k } }{\partial x^{k))}\zeta (s,x)=\sum _{{k=0))^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y ) ^{k}\zeta (s+k,x).

Seria Laurent

Expansiunea Laurent funcției zeta Hurwitz poate fi utilizată pentru a determina Stieltjes care apar în expansiune:

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{ n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.

transformata Fourier

Transformata Fourier discretă în raport cu variabila s a funcției zeta Hurwitz este funcția Legendre chi [2]

Legătura cu polinoamele Bernoulli

Funcția definită mai sus generalizează polinoamele Bernoulli : $\beta (x;n)$

B_{n}(x)=-Re\stanga[(-i)^{n}\beta (x;n)\dreapta]

Pe de altă parte,

\zeta (-n,x)=-{B_{{n+1}}(x) \over n+1}.

În special, când : $n=0$

\zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.

Relația cu funcția Jacobi theta

Dacă este funcția Jacobi theta , atunci $\vartheta (z,\tau )$

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{ {-(1-s)/2}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s) ,1-z)\dreapta]

Această formulă este adevărată pentru Re( s ) > 0 și orice complex z care nu este un întreg. Pentru un întreg z = n , formula este simplificată:

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{{-(1-s)/2}}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{{- s/2}}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)

unde ζ( s ) este funcția zeta Riemann. Ultima expresie este ecuația funcțională pentru funcția zeta Riemann.

Conexiune cu funcția L Dirichlet

Pentru valorile raționale ale argumentului, funcția zeta Hurwitz poate fi reprezentată ca o combinație liniară de funcții L Dirichlet și invers. Dacă q = n / k pentru k > 2, ( n , k ) > 1 și 0 < n < k , atunci

\zeta (s,n/k)=\sum _{\chi }\overline {\chi }(n)L(s,\chi ),

însumarea se realizează peste toate caracterele Dirichlet modulo k . Si inapoi

L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{{n=1}}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s, {\frac {n}{k}}\dreapta).

în special, următoarea reprezentare este adevărată:

k^{s}\zeta (s)=\sum _{{n=1}}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),

generalizand

\sum _{{p=0}}^{{q-1}}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).

(Adevărat pentru q natural și nenatural 1 - qa .)

Valorile raționale ale argumentelor

Funcția zeta Hurwitz apare în diverse relații interesante pentru valorile raționale ale argumentelor. [2] În special, pentru polinoamele Euler : $E_{n}(x)$

E_{{2n-1}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{{2n))))\sum _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

și

E_{{2n}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{ {2n+1}}}}\sum _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

in afara de asta

\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{{s-1}}\sum _{{k=1}}^{q}\ stânga[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{ s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]

corect pentru . Aici și sunt exprimate în termeni ai funcției chi Legendre ca $1\leq p\leq q$ $C_{\nu }(x)$ $S_{\nu }(x)$ $\chi _{\nu }$

C_{\nu }(x)=\operatorname {Re}\,\chi _{\nu }(e^{{ix)))

și

S_{\nu }(x)=\operatorname {Im}\,\chi _{\nu }(e^{{ix}}).

Aplicații

Funcția zeta Hurwitz apare în diferite ramuri ale matematicii. Se găsește cel mai adesea în teoria numerelor , unde teoria sa este cel mai dezvoltată. De asemenea, funcția zeta Hurwitz se găsește în teoria fractalilor și a sistemelor dinamice . Funcția zeta Hurwitz este folosită în statistica matematică , apare în legea lui Zipf . În fizica particulelor elementare , aceasta apare în formula Schwinger [3] , care dă un rezultat exact pentru indicele de producție de perechi din ecuația Dirac pentru un câmp electromagnetic staționar .

Cazuri speciale și generalizări

Funcția zeta Hurwitz este legată de funcția poligamă :

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z).

Funcția zeta Lerch generalizează funcția zeta Hurwitz:

\Phi (z,s,q)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}

acesta este

\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).

Note

↑ Helmut Hasse. Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (germană) // Mathematische Zeitschrift. - 1930. - Bd. 32 , nr. 1 . - doi : 10.1007/BF01194645 .
↑ 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Valorile funcțiilor Legendre chi și Hurwitz zeta la argumente raționale // Math . Comp.. - 1999. - Nr. 68 . — P. 1623-1630 .
↑ J. Schwinger. Despre invarianța manometrului și polarizarea în vid // Revizuire fizică. - 1951. - T. 82 , nr 5 . — S. 664–679 . - doi : 10.1103/PhysRev.82.664 .

Literatură

Milton Abramowitz și Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 .
Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments , Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201-206.
Linas Vepstas, Operatorul Bernoulli, Operatorul Gauss-Kuzmin-Wirsing și Zeta Riemann
Istvan Mezo și Ayhan Dil, Serii hiperarmonice care implică funcția zeta Hurwitz (link indisponibil) , Journal of Number Theory, (2010) 130 , 2, 360-369.

Link -uri

Jonathan Sondow și Eric W. Weisstein. Funcția Hurwitz Zeta (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .