Potenţialul Pöschl-Teller

Potențialul Pöschl-Teller este o funcție a energiei potențiale a unui câmp electrostatic, propus de fizicienii maghiari Herta Pöschl și Edward Teller [1] ca o aproximare a energiei unei molecule diatomice, alternativă la potențialul Morse . Potentialul are forma

U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2 }ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)

pe intervalul , pe limita căruia merge la infinit. Parametrii îndeplinesc condiţiile şi . Uneori, potențialul Pöschl-Teller este numit potențial Pöschl-Teller modificat . $0\leqslant x\leqslant \pi /(2a)$ $\varkappa >1$ $\lambda > 1$

Ecuația Schrödinger cu potențial Pöschl-Teller

Ecuația staționară Schrödinger cu potențialul Pöschl-Teller are forma:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left( {\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax))+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax))\right) \Psi(x)=E\Psi(x).

Dacă introduceți notația , atunci aceasta va lua forma: $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-a^{2}{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}-a ^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=0.

După schimbarea variabilelor

y=\sin ^{2}ax

primim

y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)+{\frac {1}{4 }}\left({\frac {k^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{y}}-{\frac {\lambda (\ lambda -1)}{1-y}}\right)\Psi (y)=0.

Deoarece punctele 0 și 1 sunt speciale, este firesc să reprezentăm soluția sub forma:

\Psi (y)=y^{\mu}(1-y)^{\nu }f(y)

Dacă alegeți

\mu ={\frac {\varkappa {2}),\qquad \nu ={\frac {\lambda {2)),

atunci ecuația se va reduce la forma hipergeometrică:

y(1-y)f''(y)+\left(\left(\varkappa +{\frac {1}{2))\right) -y\left(\varkappa +\lambda +1 \right)\right)f'(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {\varkappa ^{2}}{a^{2}}}+(\varkappa +\ lambda )^{2}\right)f(y)=0.

Soluția generală a acestei ecuații poate fi exprimată în termeni de funcții hipergeometrice :

f(y)=C_{1}\;_{2}F_{1}(a,b;c;y)+C_{2}y^{1-c}\;_{2}F_ {1}(a+1-c,b+1-c;2-c;y),

unde se introduce notația:

a={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda +{\frac {k}{a}}\right),\quad b={\frac {1}{2 }}\left(\varkappa +\lambda -{\frac {k}{a}}\right),\quad c=\varkappa +{\frac {1}{2}}.

Dacă luăm în considerare condițiile la limită :

\Psi (0)=\Psi (1)=0,

atunci obținem funcții proprii

\Psi _{n}(x)=C_{1}\sin ^{\varkappa}(ax)\cos ^{\lambda}(ax)\;_{2}F_{1}(-n ,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2));\sin ^{2}ax),

unde constanta este calculată luând în considerare normalizarea:

C_{1}=\left(\int \limits _{0}^{1}\sin ^{\varkappa}(ax)\cos ^{\lambda}(ax)\;_{2}F_ {1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2));\sin ^{2}ax)dx\right)^{-{\frac {1} {2}}}.

Nivelurile de energie corespunzătoare sunt:

E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\varkappa +\lambda +2n)^{2},\quad n\in \mathbb {Z} _{ +}.

Note

↑ G. Poschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (germană) // Zeitschrift für Physik. - 1933. - Bd. 83 , nr. 3-4 . — S. 143–151 . - doi : 10.1007/BF01331132 .

Literatură

Z. Flügge. Probleme de mecanică cuantică. - Editura LKI, 2008. - T. 1.

IG Kaplan. Interacțiuni intermoleculare . — 2006.

Paul Harrison. Puțuri, fire și puncte cuantice . — 2005.

Modele de mecanică cuantică
Unidimensional fără spin	particule libere Groapă cu pereți nesfârșiti Puț cuantic dreptunghiular potenţial delta Puțul cuantic triunghiular Oscilator armonic Potențială piatră de treaptă Pöschl-Teller potenţial bine Potenţialul Pöschl-Teller modificat bine Particulă într-un potențial periodic Dirac potențial pieptene Particulă în inel
Multidimensional fără spin	oscilator circular Ionul moleculei de hidrogen Top simetric Potențiale simetrice sferic Potențial păduri-saxon problema lui Kepler Potenţialul Yukawa Potențial Morse Hulthen potențial Potenţialul molecular al lui Kratzer Potenţial exponenţial
Inclusiv spin	atom de hidrogen Ion hidrură atom de heliu