Potenţialul Pöschl-Teller modificat

Potențialul Pöschl-Teller modificat este o funcție a energiei potențiale a unui câmp electrostatic, propus de fizicienii Hertha Pöschl și Edward Teller [1] ca o aproximare a energiei unei molecule diatomice, alternativă la potențialul Morse.

U(x)={\frac {-U_{0}}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}=-U_{0}\,\mathrm {sech} ^{2}ax

Adâncimea potențială a sondei este de obicei parametrizată ca: $U_{0}$

U_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\lambda (\lambda -1)

Soluția ecuației Schrödinger cu energia potențială sub forma unui puț Pöschl-Teller modificat este reprezentată folosind funcțiile Legendre .

Ecuația Schrödinger cu potențial Pöschl-Teller modificat

Ecuația staționară Schrödinger cu potențialul Pöschl-Teller modificat are forma:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}\Psi (x)=E\Psi (x).

Dacă introduceți notația , atunci aceasta va lua forma: $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}+a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax} }\dreapta)\Psi(x)=0.

Soluție prin funcții hipergeometrice

După schimbarea variabilelor

y=\mathrm {ch^{2}}ax

primim

y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi ''(y)-\left({\frac {k ^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{4y}}\right)\Psi (y)=0.

Dacă înlocuim soluția în forma

\Psi (y)=y^{\frac {\lambda {2}}v(y)

atunci ecuația se reduce la forma hipergeometrică

y(1-y)v''(y)+\left(\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)-(\lambda -1)y\right)v „(y)-{\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}+{\frac {k^{2}}{a^{2}}}\right)v=0

denotand

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda +i{\frac {k}{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ stânga(\lambda -i{\frac {k}{a}}\dreapta)

soluţia generală va lua forma

v(y)=A\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2));1-y\right)+iB(1-y) ^{\frac {1}{2}}\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}});{ \ frac {3}{2}};1-y\right)

Ca sistem fundamental de soluții pentru ecuația originală, este convenabil să alegeți o soluție pară și impară, adică funcțiile proprii ale operatorului de paritate :

{\hat {P}}\Psi _{\pm }(x)=\pm \Psi _{\pm }(x),

O soluție uniformă îi corespunde și $A=1$ $B=0$

\Psi _{+}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2} };-\mathrm {sh} ^{2}topor\dreapta)

Soluția impară îi corespunde și $A=0$ $B=1$

\Psi _{-}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda}ax\;\mathrm {sh} ax\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac { 1}{2)),b+{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)

Energia stărilor legate

Pentru comoditate, notăm , atunci energia este scrisă ca $k=i\kappa$

E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}.

Parametrii funcţiilor hipergeometrice iau forma

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda -{\frac {\kappa {a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ stânga(\lambda +{\frac {\kappa }{a}}\dreapta).

Pentru a obține funcții normalizate, este necesar să se elimine termenii asimptoticelor care sunt nemărginiți la infinit; pentru funcțiile impare, această condiție ia forma

{\frac {\kappa {a}}=\lambda -2-2k

pentru chiar

{\frac {\kappa {a}}=\lambda -1-2k

Combinând aceste condiții, obținem nivelurile de energie:

E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}(\lambda -1-n)^{2},\qquad n\leqslant \lambda - 1,\;n\in \mathbb {Z} _{+}

Coeficienți de reflexie și transmisie

Coeficienții de reflexie și transmisie au forma:

R={\frac {1}{1+p^{2}}},\qquad T={\frac {p^{2}}{1+p^{2}}},

unde notația

p={\frac {\mathrm {sh} {\frac {\pi k}{a)}}{\sin \pi \lambda )).

Când primim asta și $\lambda \in \mathbb {Z} _{+)$ $p=\infty$

R=0,\qquad T=1.

Astfel, la , potențialul Pöschl-Teller modificat devine reflexiv. $\lambda \in \mathbb {N}$

Soluție prin funcțiile Legendre

Prin substituție , ecuația Schrödinger poate fi redusă la ecuația $u=\mathrm {th} ax$

((1-u^{2})\Psi '(u))'+\lambda (\lambda -1)\Psi (u)+\left({\frac {k}{a}}\ dreapta)^{2}{\frac {1}{1-u^{2}}}\Psi (u)=0.

Soluția acestei ecuații poate fi reprezentată în termenii funcțiilor Legendre

\Psi (u)=AP_{\lambda -1}^{\mu }(u)+BQ_{\lambda -1}^{\mu}(u),

unde . $\mu=ik/a$

Vezi și

Potenţialul Pöschl-Teller

Note

↑ G. Poschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (germană) // Zeitschrift für Physik. - 1933. - Bd. 83 , nr. 3-4 . — S. 143–151 . - doi : 10.1007/BF01331132 .

Literatură

Z. Flügge. Probleme de mecanică cuantică. - Editura LKI, 2008. - T. 1.

IG Kaplan. Interacțiuni intermoleculare . — 2006.

Paul Harrison. Puțuri, fire și puncte cuantice . — 2005.

Modele de mecanică cuantică
Unidimensional fără spin	particule libere Groapă cu pereți nesfârșiti Puț cuantic dreptunghiular potenţial delta Puțul cuantic triunghiular Oscilator armonic Potențială piatră de treaptă Pöschl-Teller potenţial bine Potenţialul Pöschl-Teller modificat bine Particulă într-un potențial periodic Dirac potențial pieptene Particulă în inel
Multidimensional fără spin	oscilator circular Ionul moleculei de hidrogen Top simetric Potențiale simetrice sferic Potențial păduri-saxon problema lui Kepler Potenţialul Yukawa Potențial Morse Hulthen potențial Potenţialul molecular al lui Kratzer Potenţial exponenţial
Inclusiv spin	atom de hidrogen Ion hidrură atom de heliu