Câmp vectorial potențial

Câmp vectorial potențial (sau irotațional ) în matematică - câmp vectorial , care poate fi reprezentat ca gradient al unei funcții scalare de coordonate. O condiție necesară pentru potențialul unui câmp vectorial în spațiul tridimensional este egalitatea curlului câmpului la zero. Totuși, această condiție nu este suficientă - dacă regiunea spațiului luată în considerare nu este pur și simplu conectată , atunci potențialul scalar poate fi o funcție cu mai multe valori.

În fizica care se ocupă de câmpurile de forță , condiția matematică pentru potențialul unui câmp de forță poate fi reprezentată ca cerința ca munca să fie egală cu zero atunci când particula, asupra căreia este acționată de câmp, se mișcă instantaneu de-a lungul unui circuit închis. Acest contur nu trebuie să fie traiectoria unei particule care se mișcă sub acțiunea doar a unor forțe date. Ca potențial de câmp în acest caz, se poate alege lucrul asupra mișcării instantanee a unei particule de testat de la un punct de plecare ales arbitrar la un punct dat (prin definiție, acest lucru nu depinde de calea mișcării). De exemplu, un câmp electric static este potențial , precum și un câmp gravitațional în teoria Newtoniană a gravitației.

În unele surse , doar un câmp cu un potențial independent de timp este considerat un câmp potențial de forțe . Acest lucru se datorează faptului că potențialul de forțe dependent de timp, în general, nu este energia potențială a unui corp care se mișcă sub acțiunea acestor forțe. Deoarece forțele nu funcționează deodată, munca forțelor asupra corpului va depinde de traiectoria acestuia și de viteza de trecere de-a lungul acestuia. În aceste condiții, energia potențială în sine nu este definită, deoarece prin definiție trebuie să depindă doar de poziția corpului, dar nu și de cale. Cu toate acestea, și pentru acest caz, potențialul pentru forțe poate exista și poate intra în ecuațiile de mișcare în același mod ca energia potențială pentru acele cazuri când există.

Fie un câmp vectorial potențial; se exprimă în termeni de potenţial ca ${\vec {v}}$ $\phi$

{\vec v}=\nabla \phi

(sau într-o altă intrare ).

{\vec v}=\operatorname {grad}\phi

Pentru câmpul de forțe și potențialul de forțe se scrie aceeași formulă ca

{\vec F}({\vec r},t)=-\nabla U({\vec r},t)

adică pentru forţe, potenţialul este . Când U nu depinde de timp, este o energie potențială, iar atunci semnul „-” apare pur și simplu prin definiție. În caz contrar, semnul este păstrat de dragul uniformității. $\phi$ $-U$

Pentru câmpul , proprietatea de independență a traseului a integralei este satisfăcută : $\phi$ $P$

\int _{P}{\vec v}\cdot d{\vec r}=\phi (B)-\phi (A)

Acest lucru este echivalent cu

\oint {\vec v}\cdot d{\vec r}=0

Integrala în buclă închisă devine 0 deoarece punctele de început și de sfârșit sunt aceleași. În schimb, formula anterioară poate fi derivată din aceasta prin împărțirea unei bucle închise în două bucle deschise.

Condiția necesară este scrisă ca (sau într-o altă notație ). $\nabla \times {\vec v}=0$ $\operatorname {rot}{\vec v}=0$

În limbajul formelor diferențiale , un câmp potențial este o formă exactă 1, adică o formă care este diferența (exterioară) a unei forme 0 (funcție). Gradientul corespunde luării diferenţialului extern al formei 0 (potenţial), curl corespunde luării diferenţialului extern al formei 1 (câmpului). Condiția necesară rezultă din faptul că a doua diferență externă este întotdeauna egală cu zero: . Formulele integrale decurg din teorema Stokes (generalizată) . $d^{2}=0$

Câmp vectorial potențial

Vezi și