Ricci flux

Fluxul Ricci este un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care descriu deformarea unei metrici riemanniene pe o varietate .

Acest sistem este un analog neliniar al ecuației căldurii .

Numit prin analogie cu curbura Ricci , în onoarea matematicianului italian Ricci-Curbastro .

Ecuația

Ecuația fluxului Ricci are forma:

\partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.

unde denotă o familie cu un parametru de metrici riemanniene pe o varietate completă (în funcție de un parametru real ) și este tensorul său Ricci . $g_{t)$ $t$ $\mathrm {Rc} _{t)$

Proprietăți

Din punct de vedere formal, sistemul de ecuații dat de fluxul Ricci nu este o ecuație parabolică . Cu toate acestea, există un sistem parabolic de ecuații propus de Deturk , astfel încât dacă o metrică riemanniană pe o varietate compactă și , sunt soluții de sisteme și , atunci este izometrică pentru toate . $R$ $R'$ $g_{0}$ $M$ $g_{t)$ $g'_{t)$ $R$ $R'$ $(M,\;g_{t})$ $(M,\;g_{t}')$ $t$
- Această construcție a simplificat semnificativ dovada existenței unei soluții, se numește „smecheria lui Deturk”.
Similar cu ecuația căldurii (și alte ecuații parabolice ), prin stabilirea unor condiții inițiale arbitrare la , se pot obține soluții doar într-o singură direcție în , și anume . $t=0$ $t$ $t\geqslant 0$
Spre deosebire de soluțiile ecuației căldurii, fluxul Ricci, de regulă, nu continuă la infinit la . Soluția continuă până la intervalul maxim . Dacă , bineînțeles, când se apropie de curbura varietății se duce la infinit, și se formează o singularitate în soluție . Dovada conjecturii lui Thurston s-a bazat pe studiul singularităților, împotriva cărora Ricci se opune. $t\la \infty$ $[0,\;T)$ $T$ $T$
Pseudolocalitate - dacă o vecinătate a unui punct la momentul inițial arată aproape ca o bucată de spațiu euclidian, atunci această proprietate va rămâne pentru un anumit timp în fluxul Ricci într-un cartier mai mic.

Modificarea caracteristicilor geometrice

Pentru volumul metricii , relația este adevărată $\mathrm {vol} _{t)$ $g_{t)$ ${\tfrac {\partial {\partial t)}(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).$
Pentru curbura scalară a metricii , relația $\mathrm {R} _{t)$ $g_{t)$ ${\tfrac {\partial }{\partial t)}\mathrm {R} _{t}=\triunghi _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{ t}|^{2}$

unde este definit ca pentru un cadru ortonormal la un punct.

|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}

\sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j))^{2)

\{e_{i}\}

În special, conform principiului maximului , fluxul Ricci păstrează pozitivitatea curburii scalare.
Mai mult, infimul curburii scalare nu scade.

Pentru fiecare cadru ortonormal la un punct există un așa-numit cadru ortonormal însoțitor . Pentru tensorul de curbură scris în această bază, relația este adevărată $g_{0}$ $\{e^{i}\}$ $x\în M$ $g_{t)$ $\{e_{t}^{i}\}$ $\mathrm {Rm} _{t)$ ${\tfrac {\partial }{\partial t)}\mathrm {Rm} _{t}=\triunghi _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _ {t},\mathrm {Rm} _{t}),$

unde este o formă pătratică biliniară definită pe spațiul tensorilor de curbură și cu valori în ei.

Q

Forma biliniară pătratică definește un câmp vectorial pe spațiul vectorial al tensoarelor de curbură — fiecărui tensor de curbură i se atribuie un tensor de curbură diferit . Soluții ODE $Q$ $X$ $v_{x}=Q(x,x)$

{\dot {x}}=v_{x}

joacă un rol important în teoria fluxului Ricci.

Mulțimi convexe din spațiul de curbură tensori care sunt invarianți la rotații și astfel încât dacă în EDO redusă , atunci pentru , sunt numite invariante pentru fluxul Ricci. Dacă curbura unei metrici riemanniene pe o varietate închisă în fiecare punct aparține unui astfel de , atunci este valabilă și pentru metricile obținute din aceasta de fluxul Ricci. Raționamentul de acest fel este numit „principiul maxim” pentru fluxul Ricci. $K$ $x(0)\în K$ $x(t)\in K$ $t\geq 0$ $K$

Mulțimile invariante sunt

Tensori de curbură cu curbură scalară pozitivă
Tensori de curbură cu operator de curbură pozitivă
În cazul tridimensional, tensori de curbură cu curbură Ricci pozitivă

Dimensiunea 3

În cazul în care dimensiunea spațiului este egală cu 3, pentru fiecare și se poate alege un cadru , în care se diagonalizează în baza , , , să zicem, $X$ $t$ $\{e_{t}^{i}\}$ $\mathrm {Rm} _{t)$ $e_{1}\wedge e_{2}$ $e_{2}\wedge e_{3)$ $e_{3}\wedge e_{1)$

\mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix)).

Apoi

Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.

Istorie

Cercetarea fluxului Ricci a fost inițiată de Hamilton la începutul anilor 1980. Mai multe teoreme ale sferei netede au fost demonstrate folosind fluxuri Ricci .

Folosind fluxurile Ricci în articolele sale [1] , publicate între 2002 și 2003 , Perelman a reușit să demonstreze conjectura Thurston , realizând astfel o clasificare completă a varietăților compacte tridimensionale și să demonstreze conjectura Poincaré . [2]

Note

↑ Vezi articole de Grigory Perelman în bibliografie.
↑ http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf Arhivat 21 ianuarie 2021 la Wayback Machine „Această conjectură a fost formulată de Henri Poincaré [58] în 1904 și a rămas deschisă până la lucrarea recentă a lui Perelman. … Argumentele lui Perelman se bazează pe o fundație construită de Richard Hamilton cu studiul său al ecuației de curgere Ricci pentru metrica Riemanniană.”.

Literatură

Hamilton, RS Trei colectoare cu curbură Ricci pozitivă // J. Diff. Geom. 17, 255-306, 1982.
Hamilton, RS Patru colectoare cu operator de curbură pozitivă // J. Diff. Geom. 24, 153-179, 1986.
Perelman, Grisha (11 noiembrie 2002), Formula de entropie pentru fluxul Ricci și aplicațiile sale geometrice, arΧiv : math.DG/0211159 [math.DG].
Perelman, Grisha (10 martie 2003), Ricci flow with surgery on three-manifolds, arΧiv : math.DG/0303109 [math.DG].
Perelman, Grisha (17 iulie 2003), Timp de extincție finit pentru soluțiile fluxului Ricci pe anumite trei-variete, arΧiv : math.DG/0307245 [math.DG].
Bruce Kleiner, John Lott: Note și comentarii la lucrările lui Perelman Ricci (PDF; 1,5 MB), 2008.
J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizing Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
Chow, Bennett, Peng Lu și Lei Ni. Fluxul Ricci al lui Hamilton. — American Mathematical Soc., 2006.