Ecuația de difuzie

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 27 iulie 2017; verificările necesită 4 modificări .

Ecuația de difuzie este o formă particulară a unei ecuații cu diferențe parțiale . Este non-staționară și staționară.

În sensul interpretării, la rezolvarea ecuației de difuzie, vorbim despre găsirea dependenței concentrației unei substanțe (sau a altor obiecte) de coordonatele spațiale și de timp și se dă un coeficient (în cazul general, tot în funcție de coordonate spațiale și timp), care caracterizează permeabilitatea mediului pentru difuzie. La rezolvarea ecuației căldurii, vorbim despre găsirea dependenței temperaturii mediului de coordonatele spațiale și de timp, și sunt date capacitatea de căldură și conductibilitatea termică a mediului (de asemenea, în general neomogen).

Fizic, în ambele cazuri, se presupune absența sau neglijarea fluxurilor macroscopice de materie. Acesta este cadrul fizic pentru aplicabilitatea acestor ecuații. De asemenea, reprezentând limita continuă a acestor probleme (adică nu mai mult decât o anumită aproximare), ecuațiile de difuzie și conducție a căldurii, în general, nu descriu fluctuații și procese statistice care sunt apropiate ca scară de lungimea și calea liberă medie, deviând de asemenea foarte mult. puternic din presupusa soluție exactă a problemei în ceea ce privește corelațiile la distanțe comparabile (și mari) cu distanțele parcurse de sunet (sau de particule lipsite de rezistență medie la vitezele lor caracteristice) într-un mediu dat în timpul considerat.

În marea majoritate a cazurilor, aceasta înseamnă imediat că ecuațiile difuziei și conducției căldurii sunt departe de acele zone în care efectele cuantice sau caracterul finit al vitezei luminii devin semnificative, adică în marea majoritate a cazurilor, nu numai în concluzia lor, dar și în principiu, limitată la domeniul fizicii clasice newtoniene.

În problemele de difuzie sau de conducere a căldurii în fluide și gaze în mișcare, în loc de ecuația de difuzie se folosește ecuația de transfer , care extinde ecuația de difuzie pentru cazul în care neglijarea mișcării macroscopice este inacceptabilă.

Cel mai apropiat analog formal, și în multe privințe semnificativ, al ecuației de difuzie este ecuația Schrödinger , care diferă de ecuația de difuzie printr-un factor de unitate imaginar în fața derivatei în timp. Multe teoreme privind soluția ecuației Schrödinger și chiar unele tipuri de scriere formală a soluțiilor acesteia sunt direct analoge cu teoremele corespunzătoare privind ecuația de difuzie și soluțiile acesteia, dar calitativ soluțiile lor diferă foarte mult.

Vedere generală

Ecuația este de obicei scrisă astfel:

$\frac{\partial\varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\varphi,\mathbf{r}) \ \nabla\varphi(\mathbf{ r},t) \mare],$

unde φ( r , t ) este densitatea substanței care difuzează în punctul r și la momentul t și D (φ, r ) este coeficientul de difuzie generalizat pentru densitatea φ în punctul r ; ∇ este operatorul nabla . Dacă coeficientul de difuzie depinde de densitate, ecuația este neliniară; în caz contrar, este liniară.

Dacă D este un operator simetric pozitiv-definit , ecuația descrie difuzia anizotropă:

${\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t))=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{ 3}{\frac {\partial }{\partial x_{i))}\left[D_{ij}(\varphi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} , t)}{\partial x_{j))}\dreapta].$

Dacă D este constant, atunci ecuația se reduce la o ecuație diferențială liniară:

{\frac {\partial \phi ({\mathbf {r)),t)}{\partial t))=D\nabla ^{2}\phi ({\mathbf {r)),t),

numită și ecuația căldurii .

Povestea originii

Ecuația cu diferență parțială a fost dezvoltată inițial de Adolf Fick în 1855. [unu]

Ecuație non-staționară

Ecuația de difuzie non- staționară este clasificată ca o ecuație diferențială parabolică . Descrie răspândirea unei substanțe dizolvate datorită difuziei sau redistribuirii temperaturii corpului ca urmare a conducerii căldurii .

Caz unidimensional

În cazul unui proces de difuzie unidimensional cu un coeficient de difuzie (conductivitate termică), ecuația are forma: $D$

{\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)={\frac {\partial }{\partial x}}D{\frac {\partial }{\partial x}}{ c(x,\;t)}+f(x,\;t).

Când este constantă , ia forma: $D$

{\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)=D{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{c(x,\ ;t)}+f(x,\;t),

unde este concentrația substanței care difuzează, a este o funcție care descrie sursele substanței (căldură). $c(x,\;t)$ $f(x,\;t)$

Caz 3D

În cazul tridimensional, ecuația ia forma:

{\frac {\partial }{\partial t))c({\vec {r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r)),\;t ))+f({\vec {r)),\;t),

unde este operatorul nabla și este produsul scalar. Poate fi scris și ca $\nabla =(\partial _{x},\;\partial _{y},\;\partial _{z})$ $(\;,\;)$

\partial _{t}c={\mathbf {div}}\,(D\,{\mathbf {grad}}\,c)+f,

iar la constantă ia forma: $D$

{\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r)),\;t)=D\Delta c({\vec {r)),\;t)+f({\ vec{r}},\;t),

unde este operatorul Laplace . $\Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

caz n - dimensional

$n$ -caz dimensional - o generalizare directă a celor de mai sus, numai operatorul nabla, gradientul și divergența, precum și operatorul Laplace ar trebui înțeleși ca versiuni -dimensionale ale operatorilor corespunzători: $n$

\nabla =(\partial _{1},\;\partial _{2},\;\ldots ,\;\partial _{n}),

\Delta =\nabla ^{2}=\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\ldots +\partial _{n}^{2}.

Acest lucru este valabil și pentru cazul bidimensional . $n=2$

Motivație

De obicei, ecuația de difuzie provine dintr-o ecuație empirică (sau obținută cumva teoretic), care afirmă proporționalitatea fluxului de materie (sau energie termică) față de diferența de concentrații (temperaturi) a zonelor separate de un strat subțire de materie a unui permeabilitate dată, caracterizată printr-un coeficient de difuzie (sau conductivitate termică):

\Phi=-\varkappa\frac{\partial c}{\partial x}

(caz unidimensional),

\mathbf j=-\varkappa\nabla c

(pentru orice dimensiune),

combinat cu ecuația de continuitate care exprimă conservarea materiei (sau a energiei):

{\frac {\partial c}{\partial t))+{\frac {\partial \Phi }{\partial x))=0

(caz unidimensional),

{\frac {\partial c}{\partial t))+{\mathrm {div))\,{\mathbf j}=0

(pentru orice dimensiune),

ținând cont de capacitatea termică în cazul ecuației termice (temperatura = densitatea de energie / capacitatea termică specifică).

Aici, sursa de materie (energie) din partea dreaptă este omisă, dar, desigur, poate fi plasată cu ușurință acolo dacă există un aflux (ieșire) de materie (energie) în problemă.
De asemenea, se presupune că nicio forță externă, inclusiv gravitația (impuritate pasivă), nu acționează asupra curgerii unei substanțe care difuzează (impuritate).

În plus, apare în mod natural ca o limită continuă a unei ecuații de diferență similare, care, la rândul său, apare atunci când se consideră problema unei mers aleatorii pe o rețea discretă (unidimensională sau -dimensională). (Acesta este cel mai simplu model; în modelele de mers aleator mai complexe, ecuația de difuzie apare și în limita continuă.) Cea mai simplă interpretare a funcției în acest caz este numărul (sau concentrația) de particule într-un punct dat (sau în apropierea acestuia), iar fiecare particulă se mișcă independent de celelalte fără memorie (inerție) a trecutului său (într-un mod ceva mai complicat). caz, cu memorie limitată în timp). $n$ $c$

Soluție

În cazul unidimensional, soluția fundamentală a unei ecuații omogene cu o constantă - independent de și - (în condiția inițială exprimată prin funcția delta și condiția la limită ) este $X$ $t$ $D$ $c_{f}(x,\;0)=\delta(x)$ $c_{f}(\infty ,\;t)=0$

c_{f}(x,\;t)={\sqrt {{\frac {1}{4\pi Dt))))\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Dt} }\dreapta).

În acest caz, poate fi interpretată ca densitatea probabilității ca o particulă, care se afla la punctul inițial în timp la punctul de pornire, după timp se va muta în punctul cu coordonatele . Același lucru - până la un factor egal cu numărul de particule care difuzează - se aplică concentrației lor, cu condiția ca interacțiunea particulelor care difuzează unele cu altele să fie absentă sau neglijată. Apoi (în astfel de condiții inițiale) pătratul mediu al eliminării particulelor care difuzează (sau caracteristica corespunzătoare a distribuției temperaturii) din punctul inițial $c_{f}(x,\;t)$ $t$ $X$

\langle x^{2}\rangle =\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{2}c_{f}(x,\;t)\,dx= 2Dt.

În cazul unei distribuții inițiale arbitrare, soluția generală a ecuației de difuzie este reprezentată în formă integrală ca o convoluție : $c(x,\;0)$

c(x,\;t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0)c_{f}(xx',\;t) \,dx'=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0){\frac {1}{{\sqrt {4\pi Dt} }}}\exp \left(-{\frac {(xx')^{2}}{4Dt}}\right)\,dx'.

Observații fizice

Deoarece aproximarea implementată de ecuațiile difuziei și conducției căldurii este limitată fundamental la regiunea vitezelor mici și a scărilor macroscopice (vezi mai sus), nu este surprinzător că soluția lor fundamentală nu se comportă foarte realist la distanțe mari, permițând în mod formal propagarea infinită. a acţiunii în spaţiu într-un timp finit; de remarcat că amploarea acestui efect scade atât de rapid cu distanța, încât acest efect este în general neobservabil în principiu (de exemplu, vorbim de concentrații mult mai mici decât unitate).

Totuși, dacă vorbim de situații în care concentrații atât de mici pot fi măsurate experimental, iar acest lucru este esențial pentru noi, trebuie să folosim cel puțin nu o ecuație de difuzie diferențială, ci o ecuație de difuzie diferențială și modele fizice și statistice microscopice mai bune, mai detaliate. pentru a obţine o reprezentare mai adecvată a realităţii în aceste cazuri.

Ecuație staționară

În cazul în care problema este setată să găsească o distribuție constantă a densității sau temperaturii (de exemplu, în cazul în care distribuția surselor nu depinde de timp), termenii legați de timp ai ecuației sunt eliminați din -ecuația staționară. Se obţine apoi o ecuaţie staţionară de conducere a căldurii , care aparţine clasei de ecuaţii eliptice . Aspectul său general:

-(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r))))=f({\vec {r)))).

Când , nu depinde de , ecuația de difuzie staționară devine ecuația Poisson (neomogenă) sau ecuația Laplace (omogenă, adică pentru ): $D$ ${\vec {r))$ $f=0$

\Delta c({\vec {r)))=-{\frac {f({\vec {r))}}{D)),

\Delta c({\vec {r)))=0.

Declarația problemelor valorii la limită

Problemă cu condițiile inițiale ( problema Cauchy ) despre distribuția temperaturii pe o linie infinită

Dacă luăm în considerare procesul de conducere a căldurii într-o tijă foarte lungă, atunci pentru o perioadă scurtă de timp influența temperaturilor la granițe este practic absentă, iar temperatura din secțiunea luată în considerare depinde numai de distribuția inițială a temperaturii.

Găsiți o soluție a ecuației căldurii în regiunea și , îndeplinind condiția , unde este o funcție dată. $-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$ $t\geqslant t_{0}$ $u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty <x<+\infty )$ $\varphi(x)$

Prima problemă a valorii la limită pentru o tijă semi-infinită

Dacă secțiunea tijei de care ne interesează este situată în apropierea unui capăt și este îndepărtată semnificativ de celălalt, atunci ajungem la o problemă de valoare la limită, care ia în considerare influența doar a uneia dintre condițiile la limită.

Găsiți o soluție a ecuației căldurii în regiunea și , îndeplinind condițiile $-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$ $t\geqslant t_{0}$

\left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0<x<\infty )\\u(0,\;t )=\mu (t),\quad (t\geqslant t_{0})\end{array}}\right.

unde și sunt date funcții. $\varphi(x)$ $\mu (t)$

Problemă cu valoarea limită fără condiții inițiale

Dacă momentul de timp care ne interesează este suficient de departe de cel inițial, atunci este logic să neglijăm condițiile inițiale, deoarece influența lor asupra procesului slăbește în timp. Astfel, ajungem la o problemă în care sunt date condiții la limită și nu există inițiale.

Găsiți o soluție a ecuației căldurii în regiunea și , îndeplinind condițiile $0\leqslant x\leqslant l$ $-\infty<t$

\left\{{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}( t),\end{matrice}}\dreapta.

unde și sunt date funcții. $\mu _{1}(t)$ $\mu _{2}(t)$

Probleme cu valoarea limită pentru o lansetă limitată

Luați în considerare următoarea problemă a valorii la limită:

u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T

este ecuația căldurii.

Dacă , atunci o astfel de ecuație se numește omogenă , altfel - neomogenă . $f(x,\;t)=0$

u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l

este condiția inițială în momentul de timp , temperatura în punct este dată de funcție .

t=0

X

\varphi(x)

\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t ),\end{matrice}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T

- Condiții de frontieră. Funcționează și setează valoarea temperaturii la punctele de limită 0 și în orice moment .

\mu _{1}(t)

\mu _{2}(t)

l

t

În funcție de tipul de condiții la limită, problemele pentru ecuația căldurii pot fi împărțite în trei tipuri. Luați în considerare cazul general ( ). $\alpha _{i}^{2}+\beta _{i}^{2}\neq 0,\;(i=1,\;2)$

{\begin{array}{l}\alpha _{1}u_{x}(0,\;t)+\beta _{1}u(0,\;t)=\mu _{1}(t ),\\\alpha _{2}u_{x}(l,\;t)+\beta _{2}u(l,\;t)=\mu _{2}(t).\end{ matrice}}

Dacă , atunci o astfel de condiție se numește condiție de primul fel , dacă - de al doilea fel și dacă și sunt diferite de zero, atunci o condiție de al treilea fel . De aici obținem probleme pentru ecuația căldurii - prima, a doua și a treia problemă la limită. $\alpha _{i}=0,\;(i=1,\;2)$ $\beta _{i}=0,\;(i=1,\;2)$ $\alpha_i$ $\beta _{i}$

Principiul maxim

Fie o funcție în spațiu , să satisfacă ecuația omogenă a căldurii , și să fie o regiune mărginită. Principiul maximului spune că o funcție poate lua valori extreme fie la momentul inițial, fie la limita regiunii . $u(x,\;t)$ $D\times [0,\;T],\;D\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0$ $D$ $u(x,\;t)$ $D$

Note

↑ Fick A. , Ueber Diffusion, Pogg. Ann. Fiz. Chim. - 1855. - 170 (4. Reihe 94).- pp. 59-86.

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare