Ecuație diferențială parțială

O ecuație diferențială parțială (cazurile speciale sunt cunoscute și ca ecuații ale fizicii matematice , UMF ) este o ecuație diferențială care conține funcții necunoscute ale mai multor variabile și derivatele lor parțiale .

Introducere

Luați în considerare o ecuație diferențială parțială relativ simplă:

{\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)=0\,.

Din această relație rezultă că valoarea funcției nu depinde de . O putem seta egală cu o funcție arbitrară de . Prin urmare, soluția generală a ecuației este următoarea: $u(x,y)$ $y$ $X$

u(x,y)=f(x),

unde este o funcție arbitrară a variabilei . O ecuație diferențială obișnuită similară are forma: $f(x)$ $X$

{\frac {dv(x)}{dx}}=0

si solutia lui

v(x)=c,

unde c este o constantă arbitrară (independentă de ). Aceste două exemple arată că soluția generală a unei ecuații diferențiale obișnuite conține constante arbitrare, dar soluția generală a unei ecuații diferențiale parțiale conține funcții arbitrare. Soluția unei ecuații diferențiale parțiale, în general, nu este unică. În cazul general, sunt specificate condiții suplimentare la limita regiunii luate în considerare. De exemplu, soluția ecuației de mai sus (funcția ) este definită în mod unic dacă este definită pe linia . $X$ $f(x)$ $u$ $y=0$

Istorie

Istoricii au descoperit prima ecuație diferențială parțială în lucrările lui Euler despre teoria suprafețelor datând din 1734-1735 (publicate în 1740). În notația modernă, arăta astfel:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)

Începând din 1743, d'Alembert s-a alăturat lucrării lui Euler , descoperind o soluție generală a ecuației de undă pentru vibrațiile unei coarde. În anii următori, Euler și d'Alembert au publicat o serie de metode și tehnici pentru investigarea și rezolvarea anumitor ecuații cu diferențe parțiale. Aceste lucrări nu au creat încă nicio teorie completă.

A doua etapă în dezvoltarea acestei teme poate fi datată în anii 1770-1830. Studiile profunde ale lui Lagrange , Cauchy și Jacobi aparțin acestei perioade . Primele studii sistematice ale ecuațiilor cu diferențe parțiale au început să fie efectuate de Fourier . El a aplicat o nouă metodă la soluția ecuației șir - metoda de separare a variabilelor , care mai târziu a primit numele său.

O nouă abordare generală a subiectului, bazată pe teoria grupurilor de transformare continuă , a fost propusă în anii 1870 de către Sophus Lie .

La sfârșitul secolului al XIX-lea, conceptul de ecuație diferențială parțială a fost generalizat la cazul unui set infinit de variabile necunoscute ( ecuație diferențială funcțională parțială ).

Problemele de demonstrare a existenței și găsirea de soluții la sisteme de ecuații diferențiale parțiale neliniare sunt rezolvate folosind teoria varietăților netede , geometria diferențială , algebra comutativă și omologică [1] . Aceste metode sunt folosite în fizică în studiul formalismului lagrangian și hamiltonian, studiul simetriilor superioare și al legilor de conservare [1] .

Clasificare

Dimensiune

Egal cu numărul de variabile independente . Trebuie să fie cel puțin 2 (la 1, se obține o ecuație diferențială obișnuită ).

Linearitate

Există ecuații liniare și neliniare. O ecuație liniară poate fi reprezentată ca o combinație liniară de derivate ale funcțiilor necunoscute. În acest caz, coeficienții pot fi funcții constante sau cunoscute.

Ecuațiile liniare au fost bine cercetate și milioane de premii au fost acordate pentru rezolvarea anumitor tipuri de ecuații neliniare ( probleme ale mileniului ).

Omogenitate

O ecuație este neomogenă dacă există un termen care nu depinde de funcții necunoscute.

Comanda

Ordinea ecuației este determinată de ordinea maximă a derivatei. Comenzile pentru toate variabilele contează.

Clasificarea ecuațiilor liniare de ordinul doi

Ecuațiile liniare de ordinul doi în derivate parțiale sunt împărțite în parabolice , eliptice și hiperbolice .

Două variabile independente

O ecuație liniară de ordinul doi care conține două variabile independente are forma:

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))+C{\ frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,

unde sunt coeficienții în funcție de variabile și , iar elipsa înseamnă termenii în funcție de și derivate parțiale de ordinul întâi: și . Această ecuație este similară cu ecuația secțiunii conice : $A,\;B,\;C$ $X$ $y$ $x,\;y,\;u$ ${\partial u}/{\partial x}$ ${\partial u}/{\partial y}$

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.

La fel cum secțiunile conice sunt împărțite în elipse , parabole și hiperbole , în funcție de semnul discriminantului , ecuațiile de ordinul doi la un punct dat sunt clasificate: $D=B^{2}-AC$

$D=B^{2}-AC\,>0$ - Ecuația hiperbolică ,
$D=B^{2}-AC\,<0$ — ecuația eliptică ,
$D=B^{2}-AC\,=0$ — Ecuație parabolică (aici se presupune că la un moment dat coeficienții nu dispar în același timp). $A,\;B,\;C$

În cazul în care toți coeficienții sunt constante, ecuația are același tip în toate punctele planului variabilelor și . Dacă coeficienții depind continuu de și , mulțimea de puncte la care ecuația dată este de tip hiperbolic (eliptică) formează o zonă deschisă pe plan, numită hiperbolic (eliptică), iar mulțimea de puncte la care ecuația este de tip parabolic tipul este închis. O ecuație se numește mixtă ( de tip mixt ) dacă este hiperbolică în anumite puncte din plan și eliptică în unele puncte. În acest caz, punctele parabolice tind să formeze o linie numită linie de schimbare a tipului sau linie de degenerare . $A,\;B,\;C$ $X$ $y$ $A,\;B,\;C$ $X$ $y$

Mai mult de două variabile independente

În cazul general, când ecuația de ordinul doi depinde de multe variabile independente:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1},\cdots ,x_{n }){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j))}+F\left(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{ \frac {\partial u}{\partial x_{1))},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n))}\right)=0,

poate fi clasificat [2] la un punct dat prin analogie cu forma patratică corespunzătoare : $M_{0}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})$

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.

Transformare liniară nedegenerată

s_{i}=\sum _{{j=1}}^{{n}}A_{{ij}}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{{ ij}}\right\|\neq 0

forma pătratică poate fi întotdeauna redusă la forma canonică:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\lambda _{i}s_{i}^{2}.

În plus, conform teoremei inerției, numărul de coeficienți pozitivi, negativi și zero în forma canonică a unei forme pătratice este invariant și nu depinde de o transformare liniară. Pe baza acesteia, se face clasificarea (la punctul ) a ecuației luate în considerare: $\lambda_i$ $M_{0}$

Dacă într-un punct forma pătratică în formă canonică are toți coeficienții de același semn, atunci ecuația din acest punct se numește ecuație de tip eliptic . $M_{0}$
Dacă forma pătratică în forma canonică are coeficienți de semne diferite, dar toți sunt diferiți de , atunci ecuația din acest punct se numește ecuație de tip hiperbolic . $M_{0}$ $0$
Dacă o formă pătratică în formă canonică are cel puțin un coeficient egal cu un punct, atunci ecuația din acest punct se numește ecuație de tip parabolic . $M_{0}$ $0$

În cazul multor variabile independente, se poate realiza o clasificare mai detaliată (a cărei necesitate nu apare în cazul a două variabile independente):

Tipul hiperbolic poate fi clasificat în continuare în:
1. Tip hiperbolic normal dacă un coeficient are un semn și restul altul.
2. Tip ultrahiperbolic , dacă coeficienții atât ai unui semn, cât și ai celuilalt sunt mai mulți decât unul.
Tipul parabolic poate fi clasificat în continuare în:
1. Tip eliptico-parabolic , dacă un singur coeficient este zero și restul sunt de același semn.
2. Tip hiperbolic-parabolic , dacă un singur coeficient este zero și restul au semne diferite. Similar tipului hiperbolic, acesta poate fi împărțit în:
  1. Tip normal hiperbolic-parabolic
  2. Tip ultrahiperbolic-parabolic
3. Tip ultraparabolic dacă mai mult de un coeficient este zero. Aici, o clasificare suplimentară este posibilă și în funcție de semnele coeficienților non-zero.

Existența și unicitatea unei soluții

Deși răspunsul la întrebarea existenței și unicității unei soluții la o ecuație diferențială obișnuită are un răspuns complet exhaustiv ( teorema Picard-Lindelöf ), nu există un răspuns clar la această întrebare pentru o ecuație diferențială parțială. Există o teoremă generală ( teorema Cauchy-Kovalevskaya ), care afirmă că problema Cauchy pentru orice ecuație diferențială parțială care este analitică în raport cu funcțiile necunoscute și derivatele lor are o soluție analitică unică [3] . Cu toate acestea, există exemple de ecuații diferențiale parțiale liniare ai căror coeficienți au derivate de toate ordinele și nu au soluție ( Lévy [ 1957 ). Chiar dacă soluția există și este unică, poate avea proprietăți nedorite.

Luați în considerare șirul problemelor Cauchy (în funcție de ) pentru ecuația Laplace : $n$

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2)}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2)}}=0 ,

cu conditiile initiale :

u(x,0)=0,

{\frac {\partial u}{\partial y)}(x,0)={\frac {\sin nx}{n)),

unde este un număr întreg. Derivata funcției în raport cu variabila tinde uniform la creșterea , cu toate acestea, soluția ecuației este $n$ $u$ $y$ $0$ $X$ $n$

u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2)}}.

Soluția tinde spre infinit, dacă nu este un multiplu al oricărei valori diferite de zero a lui . Problema Cauchy pentru ecuația Laplace se numește prost pusă sau incorectă , deoarece nu există o dependență continuă a soluției de datele inițiale. $nx$ $\pi$ $y$

Pentru sistemele de ecuații diferențiale parțiale neliniare, dovezile existenței soluțiilor și căutarea varietăților tuturor soluțiilor se realizează folosind teoria varietăților netede , geometriei diferențiale , algebrei comutative și omologice [1] . Aceste metode sunt folosite în fizică în studiul formalismului lagrangian și hamiltonian, studiul simetriilor superioare și al legilor de conservare [1] .

Exemple

Ecuația unidimensională a căldurii

Ecuația care descrie propagarea căldurii într-o tijă omogenă este de tip parabolic și are forma

{\frac {\partial u}{\partial t)}=\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}

unde este temperatura și este o constantă pozitivă care descrie viteza de propagare a căldurii. Problema Cauchy se pune astfel: $u(t,x)$ $\alfa$

$u(0,x)\,=f(x)$ ,

unde este o funcție arbitrară. $f(x)$

Ecuația vibrației șirurilor

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Ecuația este de tip hiperbolic. Aici este deplasarea șirului din poziția de echilibru, sau presiunea aerului în exces în țeavă, sau mărimea câmpului electromagnetic din țeavă și este viteza de propagare a undei. Pentru a formula problema Cauchy la momentul inițial de timp, ar trebui să specificați deplasarea și viteza șirului în momentul inițial de timp: $u(t,x)$ $c$

u(0,x)=f(x),

{\dfrac {\partial u}{\partial t))(0,x)=g(x),

Ecuația Laplace bidimensională

Ecuația Laplace pentru o funcție necunoscută a două variabile are forma:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0$

Ecuație de tip eliptic. Soluțiile sale se numesc funcții armonice .

Relația cu funcțiile analitice

Părțile reale și imaginare ale oricărei funcții holomorfe ale unei variabile complexe sunt funcții armonice conjugate : ambele satisfac ecuația Laplace și gradienții lor sunt ortogonali. Dacă , atunci condițiile Cauchy-Riemann afirmă următoarele: $f$ $z=x+iy$ $f=u+iv$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y)),\quad {\frac {\partial v}{\partial x)}= -{\frac {\partial u}{\partial y)),

Adunând și scăzând ecuațiile una de la alta, obținem:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2)}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2)}}=0 ,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2))}=0 .

De asemenea, se poate demonstra că orice funcție armonică este partea reală a unei funcții analitice.

Probleme de limită

Problemele de limită sunt stabilite după cum urmează: găsiți o funcție care satisface ecuația Laplace în toate punctele interne ale regiunii și la limita regiunii - o anumită condiție. În funcție de tipul de condiție, se disting următoarele probleme de valoare limită: $u$ $S$ $\partial S$

$u|_{{\partial S}}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ - Problema Dirichlet
${\frac {\partial u}{\partial n)){\big |}_({\partial S))=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ - problema Neumann

Rezolvarea ecuațiilor fizicii matematice

Există două tipuri de metode de rezolvare a acestui tip de ecuații:

analitice, în care rezultatul este derivat prin diverse transformări matematice;
numerice, în care rezultatul obținut corespunde celui real cu o precizie dată, dar care necesită foarte multe calcule de rutină și deci poate fi efectuat doar cu ajutorul tehnologiei informatice (calculator).

Soluție analitică

Soluțiile analitice ale ecuațiilor fizicii matematice pot fi obținute în diferite moduri. De exemplu:

Utilizarea funcției lui Green ;
Utilizarea metodei Fourier de separare a variabilelor;
Cu ajutorul teoriei potențialului ;
Folosind formula Kirchhoff .

Aceste metode au fost dezvoltate pentru diferite tipuri de ecuații și, în unele cazuri simple, permit obținerea unei soluții sub forma unei formule sau a unei serii convergente, de exemplu, pentru ecuația de vibrație a corzilor :

\Delta u=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}

u(x,t){\big |}_{{x=0}}=u(x,t){\big |}_{{x=L}}=0

u(x,t){\big |}_{{t=0}}=f(x),\ {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(x,t){\big |} _{{t=0}}=g(x)

soluția analitică folosind metoda Fourier are forma:

u(x,t)\,=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}\left[A_{n}\cos \left({\dfrac {a\pi n}{ L}}t\right)+B_{n}\sin \left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]\sin \left({\dfrac {\pi nx} {L}}\dreapta)

A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits _{{0}}^{{L}}f(x)\sin \left({\dfrac {\pi nx}{L }}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits _{{0}}^{{L}}g(x)\sin \ stânga({\dfrac {\pi nx}{L}}\dreapta)dx

Soluție numerică

Deoarece găsirea unei soluții analitice chiar și a unei simple ecuații într-un domeniu complex nu este întotdeauna posibilă, au fost dezvoltate multe metode pentru rezolvarea ecuațiilor fizicii matematice. Unele dintre ele se bazează pe aproximarea operatorului diferențial prin unele expresii, altele reduc problema la una de proiecție sau variațională și o rezolvă, unele dintre metodele numerice utilizate frecvent sunt:

Fiecare dintre metode are propriile sale caracteristici și propriile sale clase de sarcini de rezolvat. De exemplu, o soluție de diferență finită a ecuației de oscilație poate fi obținută folosind următoarea schemă de diferențe :

u_{i}^{{j+1}}={{\tau ^{2}a^{2} \over h^{2}}}\left(u_{{i+1}}^{j} -2u_{i}^{j}+u_{{i-1}}^{j}\right)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{{j-1}}

unde este pasul de timp și este pasul de spațiu. $\tau$ $h$

Soluții slabe

Dacă o ecuație cu diferență parțială este reprezentată sub forma _ _ . $Lu=f$ $L$ $f$ $u(x)$ $\varphi$ $\int uL^{*}\varphi \,dx=\int f\varphi \,dx$ $L^{*}$

Soluție de vâscozitate

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 4 Pommare, 1983 , p. 5.
↑ Sveșnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Capitolul II. Clasificarea ecuațiilor diferențiale în derivate parțiale de ordinul doi. // Prelegeri de fizică matematică. — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - M . : Editura Universității de Stat din Moscova; Știință, 2004. - S. 49. - 416 p. — ISBN 5-211-04899-7 .
↑ A.M. Nahuşev. Teorema Cauchy–Kovalevskaya (engleză) (html). Springer Online (2001). — Teorema Cauchy-Kovalevskaya. Data accesului: 9 ianuarie 2010. Arhivat din original la 12 februarie 2012.
↑ L. Behrs, F. John, M. Schechter. Ecuații cu diferențe parțiale . - M . : Mir, 1966. - S. 146.

Literatură

Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Ecuații ale fizicii matematice. - Ed. a VII-a. - M . : Editura Universității de Stat din Moscova; Nauka, 2004. - 798 p. — ISBN 5-211-04843-1 .
Mizohata S. Teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale. — M .: Mir, 1977. — 504 p.
Demidov S. S. Apariția teoriei ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1975. - Nr. 20 . - S. 204-220 .
Pommare J. Sisteme de ecuații cu diferențe parțiale și pseudogrupuri Lie. — M .: Mir, 1983. — 400 p.
Trev J. Prelegeri despre ecuații diferențiale parțiale liniare cu coeficienți constanți. - M . : Mir, 1965. - 296 p.
Fizica matematică a ecuațiilor / V. S. Vladimirov // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.

Link -uri

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNF : 11931364s GND : 4044779-0 J9U : 987007552909105171 LCCN : sh85037912 LNB : 000087182 NDL : 00563088 NKC : ph123970

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare