Curbură medie

Un flux de curbură medie este un anumit proces de deformare a hipersuprafețelor într-o varietate Riemanniană , în special pentru suprafețele din spațiul euclidian tridimensional .

Curgerea deformează suprafața în direcția normală cu o viteză egală cu curbura medie a acesteia. De exemplu, o sferă sub influența unui flux este comprimată într-un punct.

Ecuația

O familie de suprafețe cu un parametru este un flux de curbură medie dacă $f_{t}\colon S\hookrightarrow M$

{\frac {\partial f_{t}(x)}{\partial t))=H_{t}(x)\cdot n(x),

unde și notăm curbura medie și unitatea normală la suprafață în punctul . $H_{t}(x)$ $n(x)$ $f_{t}(S)$ $f_{t}(x)$

Proprietăți

Ecuația de curgere este o ecuație diferențială parțială parabolică .
- În special, aceasta garantează existența unei soluții pentru valori mici ale parametrului de timp.
Suprafețele minime sunt puncte critice pentru un flux de curbură medie.
De obicei, un flux de curbură medie formează o singularitate într-un timp finit, din care curgerea încetează să mai fie definită.
Formula de monotonitate a lui Huisken
Sub acțiunea fluxului, o suprafață convexă închisă în spațiul euclidian rămâne convexă. Mai mult, se prăbușește într-un punct într-un timp finit și imediat până în acest punct suprafața se apropie de sfera standard până la o schimbare de scară.
- Într-o varietate generală Riemanniană, convexitatea unei hipersuprafețe nu este conservată în flux, chiar dacă se cere în plus ca curbura secțiunii să fie pozitivă .

Vezi și

Un flux de scurtare este un caz special de curbură medie pentru curbele dintr-un plan.
Fluxul Ricci este o construcție strâns legată de deformarea varietăților riemanniene.

Aplicații

Flow oferă o operație naturală de netezire a suprafețelor. În special, oferă o aproximare analitică a unei suprafețe netede date. $C^{2}$

Literatură

Ecker, Klaus (2004), Teoria regularității pentru curbura medie a curbei , voi. 57, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3243-3 , DOI 10.1007/978-0-8176-8210-1 .
Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow , voi. 290, Progress in Mathematics, Basel: Birkhäuser/Springer, ISBN 978-3-0348-0144-7 , DOI 10.1007/978-3-0348-0145-4 .
Lu, Conglin; Cao, Yan & Mumford, Davidd (2002), Surface evolution under curbature flows , Journal of Visual Communication and Image Representation vol. 13 (1-2): 65–81 , DOI 10.1006/jvci.2001.0476 . Vezi în special ecuațiile 3a și 3b.