Primordială

Primorial , primorial ( ing. Primorial ) - în teoria numerelor, o funcție peste o serie de numere naturale , similară cu funcția factorială , cu diferența că primorial este un produs secvențial al numerelor prime mai mici sau egale cu unul dat, în timp ce factorial este un produs secvenţial al tuturor numerelor naturale mai mici sau egale cu un număr dat.

Termenul „primorial” a fost introdus în circulația științifică de către inginerul și matematicianul american Harvey Dubner [1] .

Definiția numerelor prime

Pentru al n -lea prim p n primul p n # este definit ca produsul primelor n prime [2] [3] :

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},

unde p k este k --lea număr prim.

De exemplu, p 5 # denotă produsul primelor 5 numere prime:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Deci primele șase primari sunt:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (secvența OEIS A002110 include , de asemenea , p 0 # = 1 ca produs gol ).

Asimptotic, primariile p n # cresc conform

p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},

unde este notația „o” mică [3] . $o(\cdot )$

Definiția numerelor naturale

În general, pentru un întreg pozitiv n , primul n # poate fi definit ca produsul numerelor prime mai mici sau egale cu n [2] [4] :

n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,

unde este funcția de distribuție a primelor (secvența A000720 în OEIS ) dând numărul de prime ≤ n , care este echivalent cu $\pi(n)$

n\#={\begin{cases}1&{\text{when }}n=1,\\n\times ((n-1)\#)&{\text{when simple }}n> 1,\\(n-1)\#&{\text{when }}n>1.\end{cases}}

De exemplu, 12# este produsul numerelor prime, fiecare dintre acestea fiind ≤ 12:

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Deci poate fi calculat ca $\pi (12)=5$

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

Luați în considerare primele 12 primărie:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vedem că pentru numerele compuse, fiecare membru al acestei secvențe îl dublează pur și simplu pe cel precedent. În exemplul de mai sus avem că 12# = p 5 # = 11# deoarece 12 este un număr compus.

Logaritmul natural n # este prima funcție Chebyshev scrisă ca sau , care se apropie de un n liniar pentru valori mari ale lui n [5] . $\theta(n)$ $\vartheta (n)$

Primoriale n # cresc conform

\ln(n\#)\sim n.

Caracteristici și aplicații

Primoriile joacă un rol important în găsirea numerelor prime în progresiile aritmetice ale numerelor prime . De exemplu, prin adăugarea numerelor 2236133941 + 23# rezultă un număr prim care începe o succesiune de treisprezece numere prime, care poate fi obținută prin adăugarea succesiunii a 23# și se termină cu numărul 5136341251. 23# este, de asemenea, diferența comună în aritmetică progresii de cincisprezece și șaisprezece numere prime .

Fiecare număr din mai multe părți poate fi reprezentat ca un produs de primoriale (de exemplu, 360 = 2 · 6 · 30) [6] .

Toate primariile sunt fără pătrați și fiecare are divizori primi ai oricărui număr mai mic decât primul. Pentru fiecare primar n , raportul este mai mic decât pentru orice număr întreg, unde este funcția Euler . $\phi (n)/n$ $\phi$

Fiecare primorial este un număr slab totient [7] .

Aproximare

Funcția zeta Riemann pentru numere pozitive mai mari decât unu poate fi exprimată [8] folosind funcția primorial și Jordan : $J_{k}(n)$

\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{ r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots

Tabel de valori

n	n #	p n	p n #
0	unu	nu exista	nu exista
unu	unu	2	2
2	2	3	6
3	6	5	treizeci
patru	6	7	210
5	treizeci	unsprezece	2310
6	treizeci	13	30030
7	210	17	510510
opt	210	19	9699690
9	210	23	223092870
zece	210	29	6469693230
unsprezece	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
paisprezece	30030	43	13082761331670030
cincisprezece	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
optsprezece	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
douăzeci	9699690	71	557940830126698960967415390

Compozitor

Compozitorul numărului n, spre deosebire de primorial, este produsul numerelor compuse mai mici decât n. Compozitul este egal cu raportul dintre factorial și primorialul unui număr: . Primele cincisprezece compoziții (cu excepția valorilor repetate) sunt 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 1158880067072000 [9] [ 11] . $n!/n\#$

Vezi și

Note

↑ Dubner, 1987 , pp. 197–203.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Primorial (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 secvența A002110 în OEIS .
↑ Secvența OEIS A034386 . _
^ Weisstein , Eric W. Chebyshev Functions pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ A002182 - OEIS . Data accesului: 5 ianuarie 2016. Arhivat din original pe 24 decembrie 2015. (nedefinit)
↑ Pe numere slab totient . Data accesului: 5 ianuarie 2016. Arhivat din original pe 4 martie 2016. (nedefinit)
↑ István Mező. Funcția Primorial și Riemann zeta : [ ing. ] // The American Mathematical Monthly. - 2013. - Vol. 120. - P. 321.
↑ compozitorii . _ www.numbersaplenty.com. Preluat la 1 februarie 2018. Arhivat din original la 24 ianuarie 2018.
↑ Secvența OEIS A036691 _
↑ Compozitorial - OeisWiki . oeis.org. Consultat la 1 februarie 2018. Arhivat din original pe 2 februarie 2018.

Literatură

Harvey Dubner. Prime factoriale și primoriale // Journal of Recreational Mathematics. - 1987. - Vol. 19. - P. 197-203.