Număr fără pătrat

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 iunie 2020; verificările necesită 2 modificări .

În matematică , fără pătrat , sau fără pătrat , este un număr care nu este divizibil cu niciun pătrat , cu excepția 1. De exemplu, 10 este fără pătrat, dar 18 nu este, deoarece 18 este divizibil cu 9 = 3 2 . Începutul șirului de numere fără pătrat este:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... secvența OEIS A005117

Teoria inelelor generalizează noțiunea de pătrat după cum urmează:

Un element r al unui inel factorial R se spune a fi fără pătrat dacă nu este divizibil cu un pătrat netrivial.

Elementele fără pătrat pot fi caracterizate și în ceea ce privește factorizarea lor: orice element diferit de zero r poate fi reprezentat ca un produs al elementelor prime

r=\varepsilon p_{1}p_{2}\cdots p_{n)

în plus, toți factorii primi p i sunt diferiți și reprezintă o identitate ( element inversabil ) a inelului. $\varepsilon$

Caracteristica echivalentă a numerelor fără pătrat

Un număr pozitiv n este liber de pătrate dacă și numai dacă niciun număr prim nu apare de mai multe ori în descompunerea acestui număr în factori primi . Un alt mod de a-l pune este: pentru orice divizor prim p al lui n , p nu împarte n / p . Sau, un număr n este pătrat dacă și numai dacă, pentru orice factorizare a lui n = ab , factorii a și b sunt copprimi .

Un număr pozitiv n este fără pătrat dacă și numai dacă , unde denotă funcția Möbius . $\mu (n)\neq 0$ $\mu(n)$

Seria Dirichlet , generând numere fără pătrat:

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}

unde este funcția zeta Riemann .

\zeta (s)

Acest lucru este evident imediat din produsul lui Euler :

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{ -s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}).

Un număr pozitiv n este fără pătrat dacă și numai dacă toate grupurile abeliene de ordinul n sunt izomorfe între ele, ceea ce este adevărat dacă și numai dacă toate sunt ciclice . Aceasta rezultă din clasificarea grupurilor abeliene generate finit .

Un număr pozitiv n este fără pătrat dacă și numai dacă inelul coeficient (vezi congruența modulo ) este un produs al câmpurilor . Aceasta rezultă din teorema chineză a restului și din faptul că un inel este un câmp dacă și numai dacă k este prim. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Pentru orice număr pozitiv n , mulțimea tuturor divizorilor săi pozitivi este o mulțime parțial ordonată , dacă luăm ca ordine relația de „divizibilitate”. Acest set parțial ordonat este întotdeauna o rețea distributivă . Este o algebră booleană dacă și numai dacă n este pătrat liber.

Radicalul unui număr întreg este întotdeauna liber de pătrate.

Densitatea numerelor fără pătrat

Let specifică numărul de numere fără pătrat între 1 și x . Pentru n mare , 3/4 numere pozitive mai mici decât n nu sunt divizibile cu 4, 8/9 dintre aceste numere nu sunt divizibile cu 9 etc. Deoarece aceste evenimente sunt independente, obținem formula: $Q(x)$

{\displaystyle Q(x)\aprox x\prod _{p\ {\text {prime)}}\left(1-{\frac {1}{p^{2)}}\right)=x\prod _{p\ {\text{prime))}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2))})^{-1))))

Q(x)\aprox x\prod _{p\ {\text {prime)}}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\ frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2} }}}}={\frac {x}{\zeta (2)))

Puteți obține formula fără funcția zeta:

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2 }}}+O\stânga({\sqrt {x}}\dreapta)

(vezi pi și "O" mare și "o" mic ). Conform ipotezei Riemann , estimarea poate fi îmbunătățită: [1]

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2))}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right).

Așa se comportă diferența dintre numărul de numere fără pătrat până la n pe site -ul OEIS: A158819 - (Număr de numere fără pătrat ≤ n ) minus rotund( n /ζ(2)). $\left[{\frac {n}{\zeta (2))}\right]$

Astfel, densitatea asimptotică a numerelor fără pătrat arată astfel:

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{ \zeta(2)}}

Unde este funcția zeta Riemann a (adică aproximativ 3/5 din toate numerele sunt libere de pătrate). $\zeta$ $1/\zeta (2)\aproximativ 0,6079$

În mod similar, dacă înseamnă numărul de n numere libere (adică numerele libere 3 nu conțin cuburi) între 1 și x , atunci: $Q(x,n)$

Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}))}}+O\left ({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)))+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right ).

Codificare binară

Dacă reprezentăm un număr fără pătrat ca produs infinit al formei

\prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n)),

unde , a este al n -lea număr prim, atunci putem alege acești coeficienți și îi putem folosi ca biți binari: $a_{n}\in \{0,1\},$ $p_n$ $un$

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}

De exemplu, numărul fără pătrat 42 este descompus ca 2 × 3 × 7, sau ca un produs infinit: 2 1 3 1 5 0 7 1 11 0 13 0 …; Astfel, numărul 42 este codificat de secvența ...001011 sau 11 în zecimală. (În codificarea binară, biții sunt scriși invers.) Și deoarece factorizarea primă a fiecărui număr este unică, codul binar al fiecărui număr fără pătrat este, de asemenea, unic.

Este adevărat și invers: deoarece fiecare număr pozitiv are un cod binar unic, acesta poate fi decodat pentru a da numere unice fără pătrat.

Să luăm din nou numărul 42 ca exemplu - de data aceasta doar ca număr pozitiv. Apoi obținem codul binar 101010 - asta înseamnă: 2 0 3 1 5 0 7 1 11 0 13 1 = 3 × 7 × 13 = 273.

În ceea ce privește cardinalitățile, aceasta înseamnă că cardinalitatea mulțimii numerelor fără pătrat este aceeași cu cardinalitatea mulțimii tuturor numerelor naturale. Ceea ce, la rândul său, înseamnă că codificările numerelor fără pătrat în ordine sunt exact o permutare a mulțimii numerelor naturale.

Vezi secvențele A048672 și A064273 pe site-ul OEIS .

Conjectura lui Erdő

Coeficientul binom central nu poate fi fără pătrat pentru n > 4. ${2n \alegeți n}$

Această ipoteză a lui Erdő a pătratului a fost dovedită în 1996 de matematicienii Olivier Ramare și Andrew Graville.

Vezi și

Funcția Möbius

Literatură

Bukhshtab A. A. Teoria numerelor. - M .: Educaţie, 1966. - 385 p.

Note

↑ Jia, Chao Hua. „Distribuția numerelor fără pătrat”, Science in China Series A: Mathematics 36 :2 (1993), pp. 154-169. Citat în Pappalardi 2003, A Survey on k -freeness Arhivat 3 martie 2016 la Wayback Machine ; vezi, de asemenea, Kaneenika Sinha, „ Ordine medii ale anumitor funcții aritmetice Arhivat la 14 februarie 2012 la Wayback Machine ”, Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21 :3 (2006), pp. 267-277.

Numerele după caracteristicile de divizibilitate
Informatii generale	Factorizarea numerelor întregi Divizibilitate divizor unitar Funcția divizor număr prim Teorema fundamentală a aritmeticii Număr aritmetic
Forme de factorizare	număr prim Numar compus Semiprim număr dreptunghiular Numărul sfenic Număr fără pătrat Multiplu complet Gradul perfect numărul lui Ahile număr neted Număr obișnuit număr grosier număr neobișnuit
Cu divizori limitați	număr perfect Cifre ușor insuficiente Numere ușor redundante Număr multiperfect Numerele hemiperfecte număr hiperperfect număr super perfect prim unitar număr semiperfect număr pararitmic numărul Erdős-Nicolas
Numerele cu mulți divizori	Numere în exces Numerele în exces primitive Numere extrem de redundante Numere super redundante Numere extrem de redundante număr supercompus Un număr foarte supercompus număr ciudat
Legat de secvențele alicote	număr sacru numere amicale numere publice Numere aproape prietenoase
Alte	Nu sunt suficiente numere numere de prieteni numere sublimate Numerele de minereu număr umil Cifre egale număr extravagant