Transformarea Box-Muller

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 11 ianuarie 2018; verificările necesită 3 modificări .

Transformarea Box-Muller este o metodă de modelare a variabilelor aleatoare standard distribuite normal . Are două opțiuni. Metoda este exactă, spre deosebire, de exemplu, de metodele bazate pe teorema centrală a limitei .

Metoda a fost publicată în 1958 de George Box și Mervyn Muller.

Prima opțiune

Fie și variabile aleatoare independente distribuite uniform pe intervalul . Calculează și formule $r$ $\varphi\$ $(0,\;1]$ $z_{0}$ $z_{1}$

z_{0}=\cos(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r)),

z_{1}=\sin(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r}}.

Apoi și va fi independent și normal distribuit cu așteptarea matematică 0 și varianța 1. Când este implementat pe un computer, este de obicei mai rapid să nu se calculeze ambele funcții trigonometrice - și -, ci să se calculeze una dintre ele prin cealaltă [dovadă?]. Este chiar mai bine să folosiți a doua versiune a transformării Box-Muller. $z_{0}$ $z_{1}$ $\cos(\cdot )$ $\sin(\cdot )$

A doua opțiune

Fie și variabile aleatoare independente distribuite uniform pe intervalul . Să calculăm . Dacă se dovedește că sau , atunci valorile și ar trebui „aruncate” și regenerate. Imediat ce condiția este îndeplinită , conform formulelor $X$ $y$ $[-1,\;1]$ ${s=x^{2}+y^{2}}$ ${s>1}$ ${s=0}$ $X$ $y$ ${0<s\leqslant 1}$

z_{0}=x\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

și

z_{1}=y\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

se calculează și , care, ca și în primul caz, vor fi cantități independente care satisfac distribuția normală standard. $z_{0}$ $z_{1}$

Coeficientul de utilizare al variabilelor aleatoare de bază pentru prima variantă este evident egal cu unu. Pentru a doua opțiune, acesta este raportul dintre aria unui cerc cu raza unitară și aria unui pătrat cu o latură de doi, adică . Cu toate acestea, în practică, a doua variantă este de obicei mai rapidă datorită faptului că folosește o singură funcție transcendentală , . Acest avantaj pentru majoritatea implementărilor depășește nevoia de a genera variabile aleatoare mai uniform distribuite. $\pi /4\aprox 0{,}785$ $\ln(\cdot )$

Trecerea la distribuția generală normală

După obținerea unei variabile aleatoare normale standard , se poate trece cu ușurință la o variabilă aleatoare distribuită normal cu așteptări matematice și abatere standard folosind formula $z$ $\xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma$

\xi =\mu +\sigma z.

Aceasta nu mai face parte din transformarea Box-Muller, dar permite finalizarea generării unei variabile aleatoare normale.

Vezi și

Algoritmul zigurat

Link -uri

Transformarea unei variabile aleatoare distribuite uniform într-una distribuită normal Arhivat 26 august 2014 la Wayback Machine