Exemplu Denjoy

În teoria sistemelor dinamice , exemplul lui Denjoy este un exemplu de difeomorfism de cerc cu un număr de rotație irațional , care are o mulțime invariantă Cantor (și, în consecință, nu este conjugat cu o rotație pură). M. Erman a construit apoi exemple ale unui astfel de difeomorfism în clasa de netezime (adică cu o derivată Hölder cu exponent ) pentru orice . Această netezime nu poate fi crescută în continuare: pentru difereomorfisme cu o derivată Lipschitz (și chiar cu o derivată al cărei logaritm are variație mărginită) , teorema lui Denjoy este valabilă, afirmând că un astfel de difeomorfism cu un număr de rotație irațional este conjugat cu o rotație irațională (prin numărul de rotație). $C^1$ $C^{1+\varepsilon }$ $C^1$ $\varepsilon$ $\varepsilon<1$

Constructii

Un exemplu de homeomorfism

Cel mai simplu exemplu este dat de un homeomorfism cerc al cărui număr de rotație este irațional, dar care, totuși, nu este minim . Și anume, luați în considerare o rotație printr-un unghi irațional și alegeți un punct de plecare arbitrar . Luați în considerare orbita sa (pentru toate numerele întregi , atât pozitive, cât și negative). Să facem următoarea rearanjare: în fiecare punct tăiem cercul și lipim un interval de o anumită lungime , astfel încât suma lungimilor intervalelor lipite să convergă: $R$ $\alfa$ $x_{0}$ $x_{n}=R^{n}(x_{0})$ $n$ $x_{n}$ $În}$ $l_{n}>0$

\sum _{n=-\infty }^{\infty }l_{n}<\infty .

Apoi, setul obținut după o astfel de lipire va fi tot un cerc, în plus, va avea măsura naturală Lebesgue (constând din măsura Lebesgue pe cercul vechi tăiat și măsura Lebesgue pe intervalele lipite), adică lungimea - și , prin urmare, o structură netedă. Extinzând harta arbitrar de la vechiul cerc astfel încât să mapeze intervalul la intervalul , de exemplu, alegând ca extensie harta afină de la la , obținem un homeomorfism f al noului cerc cu același număr de rotație . Totuși, acest homeomorfism are o mulțime invariantă Cantor (închiderea mulțimii de puncte a vechiului cerc) și, prin urmare, nu poate fi conjugat la o viraj irațională. $R$ $În}$ $I_{n+1}$ $În}$ $I_{n+1}$ $\alfa$ $K$

Alegând o secvență de lungimi în așa fel încât șirul de relații să rămână mărginit la , pentru o construcție cu extensie afină, se poate realiza proprietatea Lipschitz a homeomorfismului construit. Cu toate acestea, pentru ca maparea construită să fie un difeomorfism, alegerea extensiei la segmente ar trebui făcută mai subtil. $l_{n)$ $l_{n}/l_{n+1}$ $n\la \pm \infty$ $În}$

Exemplu în clasă $C^1$

Exemplul din clasă este construit în așa fel încât derivata difeomorfismului construit pe mulțimea Cantor — închiderea mulțimii de puncte a cercului original — să fie egală cu 1 (deoarece măsura Lebesgue pe această mulțime este păstrată prin difeomorfismul construit, aceasta este o condiție necesară pentru o astfel de construcție). Prin urmare, este necesar să alegeți constrângerile de schimb de intervale astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții: $C^1$ $f$ $K$ $În}$ $\varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n}\la I_{n+1}$

(D1) Derivata la capetele intervalului este 1. $\varphi_n$ $În}$
(D2) Ca și , derivatele mapărilor tind uniform spre 1. $n\la \pm \infty$ $\varphi_n$

Ultima condiție este necesară, deoarece odată cu creșterea intervalele se acumulează la setul Cantor . Mai mult, este ușor de observat că aceste condiții sunt suficiente pentru ca harta construită să fie un -difeomorfism. $n$ $În}$ $K$ $f$ $C^1$

În virtutea teoremei lui Lagrange , există un punct pe segment a cărui derivată va fi egală cu . A doua condiție necesită așadar ca secvența să fie valabilă $În}$ $l_{n+1}/l_{n)$ $l_{n)$

\lim _{n\to \pm \infty }l_{n}/l_{n+1}=1.\qquad (*)

După cum se dovedește, această condiție privind lungimile pentru construirea -difeomorfismului este de asemenea suficientă. Și anume, mapările se aleg astfel: pe segmentele și , se introduc coordonate care le identifică cu segmentele și , respectiv, iar maparea se alege ca $C^1$ $\varphi_n$ $În}$ $I_{n+1}$ $[-l_{n}/2,l_{n}/2]$ $[-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]$ $\varphi_n$

\varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_{n}},\qquad (**)

Unde

F_{l}:[-l/2,l/2]\la \mathbb {R},\quad F_{l}(x)=l\tan {\frac {\pi x}{l} }.\qquad(***)

Un calcul simplu arată apoi că derivata în orice punct se abate de la 1 cu cel mult , deci condiția (*) este suficientă pentru a îndeplini a doua condiție necesară D2. Pe de altă parte, este la fel de ușor de observat că și condiția D1 este îndeplinită (pentru aceasta tangenta din formula (***) a fost înmulțită cu l: atunci rata de evadare la infinit la capete este , şi nu depinde de lungimea intervalului l - prin urmare, particularitatea compoziţională se referă la cartografierea identităţii). $\varphi_n$ $\mathrm {const} \cdot |1-{\frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|$ $1/x$

Alegerea oricărei secvențe care satisface (*) cu o sumă convergentă - de exemplu, - completează construcția. $l_{n)$ $l_{n}=1/(1+n^{2}),$

Exemplu în clasă $C^{1+\epsilon }$

Un exemplu într-o clasă este prezentat de construcția deja descrisă mai sus, dar cu condiții mai subtile asupra lungimii . Și anume, după cum este ușor de observat, difeomorfismul construit va avea o derivată Hölder dacă și numai dacă derivatele tuturor constrângerilor sunt uniform Hölder. Într-adevăr, prin compararea derivatelor în puncte din diferite segmente, se poate subdiviza această diferență prin derivate la punctele finale intermediare (deoarece derivata la punctul final este întotdeauna 1) și se poate folosi inegalitatea triunghiului (în cel mai rău caz, dublarea constantei lui Hölder) . $C^{1+\varepsilon }$ $l_{n)$ $\varphi_n$ $n$

Deoarece există un punct pe segment cu o derivată (după teorema Lagrange) și există un punct în care derivata este egală cu 1 (acesta este punctul final), constanta Hölder pentru exponentul Hölder nu poate fi mai mică decât $În}$ $l_{n+1}/l_{n)$ $\varepsilon$

(|1-{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{\varepsilon }={\frac {|l_{n+1}-l_ {n}|}{l_{n}^{1+\varepsilon }}}.\qquad (L)

Prin urmare, expresia (L) trebuie limitată la . După cum se dovedește, această condiție de mărginire este suficientă: un calcul explicit arată că constanta Hölder exactă a constrângerii diferă de estimarea inferioară (L) cu nu mai mult de un factor constant. Pentru a finaliza construcția, rămâne de prezentat o succesiune infinită cu două fețe cu o sumă convergentă, pentru care expresia (L) rămâne mărginită. Un exemplu de astfel de succesiune este $n\la \pm \infty$ $\varphi_n$ $l_{n)$

l_{n}={\frac {1}{m\ln ^{2}m)),\quad m=2+|n|,

potrivit pentru toată lumea în același timp . $\varepsilon<1$

Prezentarea unei astfel de secvențe completează construcția - difeomorfismul construit aparține clasei cu orice . $C^{1+\varepsilon }$ $\varepsilon <1$

Vezi și

Link -uri

Note de J. Milnor Introductory Dynamics Lectures , prelegerea „Teorema lui Denjoy” (vezi §15B).

Literatură

A.B. Katok, B. Hasselblat. Introducere în teoria sistemelor dinamice cu o trecere în revistă a realizărilor recente / Per. din engleza. ed. A.S. Gorodetsky. M.: MTSNMO, 2005. ISBN 5-94057-063-1
M.Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 49 (1979), p. 5-233.