Opera de artă a lui Kulkarni - Nomizu

Produsul Kulkarni-Nomizu este definit pentru doi (0,2) -tensori și are ca rezultat un (0,4) -tensor. Acest produs permite ca tensorul de curbură cu tensor Weyl zero să fie exprimat în termeni de tensor de curbură Ricci .

De obicei notat . ${~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}$

Definiție

Dacă și sunt (0,2)-tensori, atunci produsul este definit ca: $h$ $k$

h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):=h( X_{1},X_{3})\cdot k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})\cdot k(X_{1},X_{3} )-

-h(X_{1},X_{4})\cdot k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})\cdot k(X_{1 },X_{4})

unde X j sunt vectori ai spațiului de bază.

Exemple

Dacă o varietate Riemanniană are o curbură în secțiune constantă, atunci tensorul său de curbură este exprimat din tensorul metric după cum urmează: $k$ $R$ $g$ $R={\frac {k}{2}}\cdot g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}g$

Vezi și

Curbura varietatilor riemanniene

Link -uri

Besse, Arthur . Varietățile Einstein, II vol. — M .: Mir, 1990. — 384 p. - 4250 de exemplare. — ISBN 5-03-002066-7 .
Gallot, S., Hullin, D. și Lafontaine, J. Riemannian Geometry (nedefinit) . — Springer-Verlag , 1990.