Generare funcțională
Funcționala generatoare este o extensie a conceptului de funcție generatoare a momentelor pentru o distribuție gaussiană unidimensională / finite-dimensională la o distribuție gaussiană continuă .
Definiție
Funcționala generatoare a funcțiilor de corelare este definită după cum urmează:
unde este media ansamblului. Fără reducere, definiția funcționalei generatoare pentru distribuția continuum Gaussian normalizată la 1 cu o formă pătratică este următoarea:
.
![{\displaystyle G(A)=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \int \!{\mathcal {D}}\varphi \ ,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left(A,\varphi \right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2219290d2c536102e674fd86b8366ccceb490a3)
Cu toate acestea, această definiție este de obicei scrisă într-o formă prescurtată, omițând simbolurile și integrările:
Relația dintre funcțiile de corelare și funcționale generatoare
Deoarece definiția funcțiilor de corelare este următoarea:
se obtine legatura intre functionala generatoare si functiile de corelare:
![{\displaystyle G_{n}(X_{1},X_{2},\dots X_{n})=\left[{\frac {\delta }{\delta A(X_{1}))}{\ frac {\delta }{\delta A(X_{2})}}\dots {\frac {\delta }{\delta A(X_{n)))))G(A)\right]_{A= 0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5f9d7737731e648782e4f59a122cd6008ae4dc)
unde este derivata variațională. Această formulă este o analogie completă a formulei de calculare a momentelor prin funcția generatoare de momente pentru o distribuție Gaussiană cu dimensiuni finite.
Calculul funcțiilor de corelare
Pentru integralele de cale, se aplică următoarea formulă:
.
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi,K\varphi \right)+\left (A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac { (A,K^{-1}A)}{2}}\dreapta\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88dd7586b1dd330e16e316ee72b6228ec15415b)
Se poate observa că partea stângă a acestuia este definiția (până la normalizare) a funcționalului generator . Apoi, pentru funcția de corelare pereche obținem
![{\displaystyle G_{2}(X_{1},X_{2})=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \left[ {\frac {\delta }{\delta A(X_{1})}}{\frac {\delta }{\delta A(X_{2)))))\det \left[{\frac {K} { 2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac {(A,K^{-1}A)}{2}}\right\}\right]_ { A=0}=K^{-1}(X_{1},X_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac83b47fc7f180de16ee6159073e59f97766f7cb)
Acesta este
Alte tipuri de funcționale generatoare
Este clar că funcționalitatea definită ca mai sus
păstrează proprietățile generatoare pentru alte distribuții care nu depind de parametru . Deoarece există o întreagă clasă de teorii fizice, densitatea de distribuție în care este dată de funcționalitatea de acțiune „aproape pătratică” :
![{\displaystyle \rho [\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecad3ec9c27285a9517d7473e67d18ce44b53e00)
![{\displaystyle S[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5fdc195e3f0d76fb555087c3712f5bf8936e13)
![{\displaystyle \rho [\varphi]=C\cdot e^{-S[\varphi]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8917e344d7b888fa827a828fca30dfe6bf9acff0)
![{\displaystyle S[\varphi]={\frac {1}{2}}\left(\varphi,K\varphi\right)+V[\varphi],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d98e67662fab901c532e76f3da656362a823af6)
unde este mic, pentru ei sunt definite propriile lor funcționale generatoare cu semnificații fizice diferite. Ele sunt numite funcționale generatoare ale funcțiilor lui Green . Printre acestea: functionala generatoare a functiilor complete ale lui Green
![{\displaystyle V[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86acdb0e3220ebaa2169212e1d826bc42fe63b1)
![{\displaystyle G(A)={\frac {\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-S[\varphi]+\left(A,\varphi \right) \right\}}{\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right) \dreapta\}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb0fe29ac60923f41c51ca5ff18bc47dc180b8c)
conectat funcțiile lui Green
și funcțiile lui Green 1-ireductibile
Ei și-au primit numele datorită faptului că, conform teoriei perturbațiilor , extinderea lor în termeni de un parametru mic (așa-numita constantă de cuplare ) în reprezentarea diagramei constă din toate diagramele posibile pentru o anumită teorie, numai pentru cele conectate, iar pentru numai 1- ireductibil.
![{\displaystyle g\sim V[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1839d531aa751310e62979e867484388f6e1ef)
Vezi și
Note
- ↑ 1 2 Vasiliev, 1998 , p. 139-143.
- ↑ Vasiliev, 1998 , p. 147.
Literatură
- Vasiliev A.N. Grup de renormalizare a câmpului cuantic în teoria comportamentului critic și dinamicii stocastice. - Editura Institutului de Fizică Nucleară din Sankt Petersburg (PNPI), 1998. - ISBN 5-86763-122-2 .