Funcția lui Green

Funcția lui Green este o funcție utilizată pentru a rezolva ecuații diferențiale liniare neomogene cu condiții la limită ( problema valorii la limită neomogene ). Numit după matematicianul englez George Green , care a dezvoltat pentru prima dată teoria în anii 1830.

Funcțiile lui Green sunt utile în electrostatică - pentru rezolvarea ecuației lui Poisson ; în teoria materiei condensate , ele permit rezolvarea ecuației de difuzie (și a ecuației de căldură care coincide cu aceasta); în mecanica cuantică , funcția lui Green a Hamiltonianului este una dintre funcțiile cheie și este legată de densitatea stărilor. Funcțiile lui Green utilizate în aceste zone sunt foarte asemănătoare, deoarece ecuațiile de difuzie și ecuația Schrödinger sunt similare într-un anumit sens. Toate domeniile fizicii matematice și teoretice , în care funcțiile lui Green sunt extrem de utile, sunt, probabil, dificil chiar de enumerat. Ele ajută la găsirea de soluții staționare și non-staționare, inclusiv în diferite condiții la limită.

În fizica particulelor și fizica statistică , funcțiile lui Green sunt folosite ca propagatori în diagramele Feynman (și expresia „funcția lui Green” este adesea aplicată în general funcției de corelație în teoria câmpului cuantic ). Funcția lui Green este utilizată pe scară largă în aplicațiile teoriei împrăștierii la fizica stării solide ( difracție de raze X , calcule ale spectrelor electronice ale materialelor metalice).

Definiție și utilizare

Funcția lui Green a unui operator diferențial liniar care acționează asupra funcțiilor generalizate pe o submulțime a spațiului euclidian într-un punct este orice soluție a ecuației $G(x,s)$ $L=L(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $s$

L~G(x,s)=\delta(xs)

unde este functia delta Dirac . Această proprietate a funcției lui Green poate fi folosită pentru a rezolva o ecuație diferențială de formă $\ \delta$

L~u(x)=f(x)

Funcția lui Green este un operator invers pentru , deci este adesea notat simbolic ca . $L$ $L^{{-1}}$

Dacă nucleul operatorului este netrivial, atunci funcția lui Green nu este unică. Cu toate acestea, în practică, utilizarea principiului simetriei, a condițiilor la limită sau a altor condiții suplimentare face posibilă determinarea unei anumite funcție a lui Green. În general, funcția lui Green nu este o funcție obișnuită, ci o funcție generalizată , adică poate ieși din clasa funcțiilor obișnuite, de exemplu, să aibă caracteristici de forma unei funcții delta sau derivate ale acesteia. $L$

Funcția lui Green este, de asemenea, un instrument util pentru rezolvarea ecuației de undă, a ecuației de difuzie și a ecuațiilor mecanice cuantice, unde funcția lui Green a operatorului Hamilton joacă un rol crucial și este legată de densitatea stărilor . În fizică, funcția lui Green este de obicei definită cu semnul opus:

L~G(x,s)=-\delta (xs)

care nu-și modifică semnificativ proprietățile.

Dacă operatorul este invariant translațional , adică dacă are coeficienți constanți în raport cu , atunci funcția lui Green poate fi aleasă ca operator convoluțional $L$ $X$

G(x,s)=G(xs)

În acest caz, coincide cu funcția de tranziție a impulsului din teoria sistemelor liniare staționare .

Notă

Uneori, când o ecuație neomogenă conține un coeficient constant în partea dreaptă, adică are forma $Lf=\kappa h$ $g(x,s)$

Lf_{1}(x)=\kappa \,\delta (xs)

În acest caz, soluția ecuației originale neomogene cu o funcție arbitrară pe partea dreaptă se scrie ca $Lf=\kappa h$ $h$

f(x)=\int {\kappa \,h(s)\,g(x,s)\,ds}

↑ Este clar că diferența dintre definiția funcției lui Green descrisă în această secțiune față de cea dată în articolul de mai sus nu privește esența problemei, ci doar forma preferată de notare

Funcția lui Green a operatorului Sturm-Liouville (caz unidimensional)

Enunțul problemei

Fie operatorul Sturm - Liouville , un operator diferenţial liniar de forma: $L$

L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]-q(x)

și fie operatorul condiției la limită: $D$

Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l)+\beta _{2}u(l).\end{pmatrix}}

Teorema lui Green

Fie o funcție continuă pe intervalul . Să presupunem, de asemenea, că sarcina $f(x)$ $[0,\;l]$

{\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0\end{matrix}}

este regulat, adică există doar o soluție banală a problemei omogene.

Apoi există o soluție unică care satisface sistemul $u(x)$

{\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0,\end{matrix}}

care este dat de expresia

u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds

unde este funcția lui Green care îndeplinește următoarele cerințe (sunt, de asemenea, proprietăți ale funcției lui Green): $g(x,\;s)$

$g(x,\;s)$ continuu in si . $X$ $s$
Pentru , . $x\neq s$ $Lg(x,\;s)=0$
Pentru , . $s\neq 0,\;l$ $Dg(x,\;s)=0$
Săritura derivată: . $g^{\prime }(s_{{+0)),\;s)-g^{\prime }(s_{{-0)),\;s)=1/p(s)$
Simetric: . $g(x,\;s)=g(s,\;x)$

Găsirea funcției lui Green

Ca o serie prin funcții proprii ale operatorului

Dacă setul de vectori proprii ( funcții proprii ) ai unui operator diferenţial $\Psi _{n}$ $L\$

(adică un set de astfel de funcții care pentru fiecare există un număr care ) $\Psi _{n}(x)$ $\lambda _{n}\neq 0$ $L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n)$

este completă, atunci se poate construi funcția lui Green folosind vectorii proprii și valorile proprii . $\Psi _{n}$ $\lambda_n$

Completitudinea sistemului de funcții înseamnă îndeplinirea relației $\Psi _{n}(x)$

\delta (xx^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x ^{\prime })

Se poate arăta că

{\displaystyle G(x,\;x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x){\overline {\Psi } }_{n}(x^{\prime })}{\lambda _{n))))

Într-adevăr, acționând asupra acestei sume ca operator, obținem o funcție delta (datorită relației de completitudine). $L$

(Supralinia, , denotă conjugarea complexă ; dacă sunt funcții reale , poate fi omisă). ${\overline {\Psi ))$ $\Psi _{n}$

Pentru ecuațiile parabolice

Ecuația căldurii , ecuația Schrödinger și ecuațiile de difuzie pot fi reprezentate ca o ecuație cu diferență parțială :

$H\psi (x,\beta )=-{\frac {\partial \psi (x,\beta )}{\partial \beta ))$

(unu)

unde este operatorul hermitian , sunt coordonatele spațiale $H$ $x={\mathcal {f}}x_{{1}},x_{{2}},...,x_{{n}}{\mathcal {g}}$

pentru ecuația căldurii $\Delta T={\frac {c}{k}}{\frac {\partial T}{\partial t}}$

$T$ - temperatura, . $\beta ={\frac {k}{c}}t$

pentru ecuația Schrödinger $H\psi =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

$\psi$ este funcția de undă , . $\beta ={\frac {\hbar i}{2m}}t$

pentru ecuația de difuzie $\nabla ^{{2}}\psi ={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

$\psi$ este concentrația substanței, . $\beta =\lambda t$

Funcțiile proprii ale operatorului formează un sistem ortonormal complet și satisfac ecuația $\varphi _{{m}}$ $H$

H\varphi _{{m}}=\lambda _{{m}}\varphi _{{m}}

Să presupunem că soluția ecuației (1) poate fi reprezentată ca:

$\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(\beta )\varphi _{{m}}(x)$

(2)

Substituind în ecuația (1) forma propusă a soluției, obținem:

H\psi =\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(\beta )H\varphi _{{m}}(x)=-\sum _{{ m=0}}^{{\infty }}\varphi _{{m}}(x){\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{{m}}(\beta )

În acest fel:

\sum _{{m=0}}^{{\infty }}[\lambda _{{m}}A_{{m}}(\beta )+{\frac {\partial }{\partial \beta } }A_{{m}}(\beta )]\varphi _{{m}}(x)=0

Această ecuație trebuie să fie valabilă pentru toți m. Obtinem ecuatia:

-\lambda _{{m}}A_{{m}}(\beta )={\frac {\partial A_{{m}}(\beta )}{\partial \beta }}

Unde

A_{{m}}(\beta )=A_{{m}}(0)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}

Prin urmare, soluția ecuației inițiale (1) poate fi reprezentată astfel:

\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(0)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}\varphi _{{m}}(x)

Considerând seria (2) uniform convergentă, putem constata că:

A_{{m}}(\beta )=\int \varphi _{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,\beta )d\tau

unde este elementul de volum. $d\tau =dx_{{1}}dx_{{2}}...dx_{{n}}$

Din această formulă rezultă:

A_{{m}}(0)=\int \varphi _{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,0)d\tau

Deci, dacă este dată starea inițială, atunci

\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^({\infty }}\int \psi (x',0)\varphi _{{m}}^{{*}} (x')\varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}d\tau '

Această ecuație poate fi scrisă într-o formă mai convenabilă:

\psi (x,\beta )=\int \langle x|G(\beta )|x'\rangle \psi (x',0)d\tau '

Unde:

\langle x|G(\beta )|x'\rangle =\sum _{{m=0}}^({\infty }}\varphi _{{m}}^{{*}}(x') \varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}

Această expresie se numește funcția lui Green pentru ecuația (1).

Funcția lui Green pentru laplacian

Funcția lui Green pentru Laplacian poate fi derivată din teorema lui Green .

Pentru a obține teorema lui Green, să începem cu legea lui Gauss :

\int \limits _{V}\nabla \cdot {\hat A}\ dV=\int \limits _{S}{\hat A}\cdot d{\hat \sigma }

Acceptăm și substituim legea lui Gauss. Să calculăm și să aplicăm regula lanțului pentru operator : $A=\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi$ $\nabla \cdot {\hat A}$ $\nabla$

\nabla \cdot {\hat A}=\nabla \cdot (\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )=

=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )+\varphi \nabla ^{2}\psi -(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )-\psi \nabla ^{2} \varphi =\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi

Înlocuind rezultatul în teorema lui Gauss, obținem teorema lui Green:

\int \limits _{V}(\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi )\ dV=\int \limits _{S}(\varphi \nabla \psi - \psi \nabla \varphi )\cdot d{\hat \sigma }

Presupunând că operatorul nostru diferențial liniar este Laplacian , , și că avem funcția lui Green pentru el . Definiția funcției lui Green în acest caz poate fi scrisă astfel: $L$ $\nabla ^{2}$ $G$

LG(x,\;x^{\prime })=\nabla ^{2}G(x,\;x^{\prime })=\delta (xx^{\prime })

Introducem teorema lui Green. Atunci obținem: $\psi=G$

\int \limits _{V}(\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{2}\ varphi (x^{\prime }))\ d^{3}x^{\prime }=

=\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{ \prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Folosind expresia, putem rezolva ecuația Laplace ( ) și ecuația Poisson ( ) cu condiții la limită Neumann sau Dirichlet. Cu alte cuvinte, putem găsi o soluție peste tot în interiorul unui domeniu dat dacă (1) este dată o valoare la limita acestui domeniu ( condiții la limită Dirichlet ) sau (2) derivata normală este dată la limita acestui domeniu ( Condiții la limită Neumann). $\nabla ^{2}\varphi (x)=0$ $\nabla ^{2}\varphi (x)=-4\pi \rho (x)$ $\varphi(x)$ $\varphi(x)$ $\varphi(x)$

Să fim interesați de soluția din interiorul domeniului. În acest caz, integrala se simplifică datorită proprietății principale a funcției delta și avem: $\varphi(x)$ $\int \limits _{V}\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }$ $\varphi(x)$

\varphi (x)=\int \limits _{V}G(x,\;x^{\prime })\rho (x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }+ \int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\ prim })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Această formulă exprimă proprietatea binecunoscută a funcțiilor armonice , care constă în faptul că, dacă se cunoaște valoarea derivatei normale la limita regiunii, atunci toate valorile funcției în orice punct interior al acestei regiuni sunt de asemenea stiut.

În electrostatică , este înțeles ca potențial electrostatic , ca densitate de sarcină electrică , iar derivata normală ca componentă normală a câmpului electric. $\varphi(x)$ $\rho (x)$ $\nabla \varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }$

La rezolvarea problemei valorii la limită Dirichlet , funcția lui Green este aleasă sub forma . Această funcție dispare atunci când sau este la interfață; și invers, atunci când rezolvăm problema valorii la limită Neumann, ar trebui să alegem funcția lui Green, astfel încât derivata sa normală să dispară la suprafață. Astfel, doar unul dintre cei doi termeni rămâne în integrală peste suprafață. $G(x,\;x^{\prim })$ $X$ $x^\prim$

În absența condițiilor la limită, funcția lui Green pentru laplacian are forma:

G({\hat x},\;{\hat x}^{\prime })={\frac {1}{\left|{\hat x}-{\hat x}^{\prime }\right |}}

Considerând suprafața limită ca fiind infinit de mare și înlocuind funcția lui Green în această expresie, vom ajunge la o expresie similară pentru potențialul electric în termeni de densitate de sarcină electrică .

\varphi (x)=\int \limits _{V}{\frac {\rho (x^{\prime })}{\left|{\hat x}-{\hat x}^{\prime }\ dreapta|}}\ d^{3}x^{\prime }

Exemplu

(Acest exemplu servește ca ilustrare a paragrafului Funcția lui Green a operatorului Sturm-Liouville (caz unidimensional) , iar considerațiile descrise aici ilustrează punctele teoremei din paragraful corespunzător, referințe la punctele cărora sunt prezente în textul de mai jos).

Dată o sarcină

{\begin{matrice}Lu\end{matrice}}=u^{{\prime \prime }}+u=f(x)

;

u(0)=0,\quad u\left({\frac {\pi }{2))\right)=0

Găsiți funcția lui Green.

Primul pas: Funcția lui Green în acest caz, prin definiție, trebuie să fie o soluție a ecuației $g(x,s)$

$g^{{\prime \prime }}+g=\delta (xs)$

(3)

unde două linii denotă derivata a doua în raport cu . $X$

Pentru , unde funcția - este egală cu zero, această ecuație se reduce la una omogenă (punctul 2 al teoremei menționate): $x\neq s$ $\delta$

g^{{\prime \prime }}+g=0

adică pentru toate punctele cu excepția , funcția lui Green va fi soluția unei astfel de ecuații omogene. $s$

Soluția generală a unei astfel de ecuații

g=A\cos x+B\sin x

unde și sunt constante (nu depind de ). $A$ $B$ $X$

Astfel, trebuie să aibă exact această formă peste tot, cu excepția punctului , în plus, în stânga și în dreapta acestuia, coeficienții și pot (și vor) avea valori diferite. $g(x,s)$ $s$ $A$ $B$

Impunem funcției lui Green condiții la limită care coincid cu condițiile la limită ale problemei inițiale (punctul 3 al teoremei menționate în observația introductivă). Funcția lui Green cu condiții la limită impuse în acest fel este convenabilă deoarece soluțiile construite prin însumarea sau integrarea unor astfel de funcții lui Green vor satisface automat aceste condiții la limită.

Din condiția de frontieră din stânga: - impusă funcției lui Green, vedem că pentru soluția generală coeficientul trebuie să fie zero, adică pentru $u(0)=0$ $x<s$ $A$ $x<s$

g(x,\;s)=B\cdot \sin x

La fel, din conditia la limita dreapta: - se obtine coeficientul egal cu zero , adica pt. $u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$ $B$ $x>s$

g(x,\;s)=A\cdot \cos x

Ca urmare, ținând cont de faptul că coeficienții și în general pot depinde de , putem scrie: $A$ $B$ $s$

g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}B(s)\sin x,\;\;x<s\\A(s)\cos x,\;\;s< x\end{matrice}}\dreapta.

Al doilea pas:

Trebuie să definim și . $A(s)$ $B(s)$

Integrând de două ori laturile stânga și dreapta ale ecuației (3) cu funcția delta din partea dreaptă, vedem că funcția lui Green trebuie să fie continuă (punctul 1 al teoremei menționate), și de aici condiția de potrivire a soluției și : $x<s$ $x>s$

B(s)\sin s=A(s)\cos s

După ce am integrat părțile din stânga și din dreapta aceleiași ecuații de la până la , obținem condiția săriturii primei derivate (punctul 4 al teoremei) și utilizând-o, obținem: $x=s-\varepsilon$ $x=s+\varepsilon$

$g'(s_{{+0}},s)-g'(s_{{-0}},s)=-A(s)\cdot \sin sB(s)\cdot \cos s=1$ .

Folosind regula lui Cramer, sau pur și simplu ghicind soluția sistemului acestor două ecuații, obținem că

$A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s$ .

Aceste expresii satisfac condiția articolului 5 al teoremei.

Apoi funcția lui Green a problemei:

g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrice}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrice}}\right.

care poate fi scris ca

g(x,\;s)={\frac 12}\left(\sin \left|xs\right|-\sin(x+s)\right).

Tabel cu funcțiile lui Green

Acest tabel listează funcțiile lui Green pentru operatorii diferențiali care apar frecvent, unde , , este funcția Heaviside , este funcția Bessel , este funcția Bessel modificată de primul fel și este funcția Bessel modificată de al doilea fel . [2] În cazul în care timpul ( t ) apare în prima coloană și sunt afișate funcțiile cauzale ale lui Green . $\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2)))$ $\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2)})$ $\textstyle \Theta (t)$ $\textstyle J_{\nu }(z)$ $\textstyle I_{\nu }(z)$ $\textstyle K_{\nu }(z)$ $G^{A}$

Operatorul diferential L	Funcția lui Green G	Exemplu de aplicație
$\partial _{t}^{n+1)$	${\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)$
$\partial _{t}+\gamma$	$\Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t)$
$\left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}$	$\Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t)$
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2)$	$\Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}$ , $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2)))$	Oscilator armonic
$\Delta _{\text{2D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}$	${\frac {1}{2\pi }}\ln \rho$ , $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2)}}$	Ecuația Poisson
$\Delta _{\text{3D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$	${\frac {-1}{4\pi r)}$ , $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2)))$	Ecuația Poisson
$\Delta _{\text{3D}}+k^{2}$	${\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}$ $H_{1/2}^{(2)}(kr)$ $=i{\frac {k}{4\pi }}\,$	Ecuația Schrödinger 3D staționară pentru o particulă liberă
$\Delta -k^{2)$ în spațiu cu dimensiuni $n$	$-(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr )$	Potențial Yukawa , Propagator
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2)$	${\frac {1}{2c}}\Theta (t-\|x/c\|)$	Ecuația de undă 1D
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\Delta _{\text{2D)}$	${\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2))))}\Theta (t-\rho /c)$	Ecuația de undă 2D
$\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}$	${\frac {\delta (t-{\frac {r}{c))}}{4\pi r))$	Ecuația de undă 3D
$\partial _{t}-k\partial _{x}^{2)$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}$	Ecuația difuziei 1D
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{2D)}$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}$	Ecuația difuziei 2D
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{3D)}$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}$	Ecuația difuziei 3D
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\ mu \Theta (ct-\|x\|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	Ecuația 1D Klein-Gordon
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+ \mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\ rho ^{2}}}$	Ecuația 2D Klein-Gordon
$\square +\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{ 2}-r^{2}}}$	Ecuația 3D Klein-Gordon
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2)$	${\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-\|x\|)\ stânga({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{ 1}\stânga({\frac {\gamma u}{c}}\dreapta)\dreapta)\dreapta],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	ecuația telegrafică
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{2D)}$	${\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct -\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{ cu))+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c))\right)}{u^{2))}-{\frac {3ct\sinh \ stânga({\frac {\gamma u}{c}}\dreapta)}{u^{3}}}\dreapta)\dreapta],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2 }-\rho ^{2}}}$	Ecuația relativistă a căldurii 2D
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{3D)}$	${\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2 }t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2))}+{\frac {\gamma ^{2)){c))\Theta (ct- r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2} }}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}- r^{2}}}$	Ecuația relativistă a căldurii 3D

Alte exemple

Fie dată o mulțime și operatorul egal cu . Atunci funcția Heaviside este funcția lui Green pentru la . $\mathbb {R}$ $\L$ $\d/dx$ $\ H(x-x_{0})$ $\L$ $\ x_0$
Fie varietatea dată de primul sfert de plan și să fie operatorul Laplace. De asemenea, presupunem că la , sunt impuse condițiile la limită Dirichlet, iar la , sunt impuse condițiile la limită Neumann. Apoi funcția lui Green ia forma ${(x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}$ $\L$ $\x=0$ $\y=0$

G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0 })^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^ {2}}}\dreapta]+

+{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}- \ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2))}\right].

Vezi și

Note

↑ Li Tsung-dao Metode matematice în fizică. - M.: Mir, 1965. - c. 200
↑ Câteva exemple sunt preluate din Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt pe Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (germană)

Literatură

Eyges, Leonard, Câmpul electromagnetic clasic , Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 . (Capitolul 5 conține o expunere foarte clară a utilizării funcțiilor lui Green pentru rezolvarea problemelor cu valori la limită în electrostatică.)
AD Polyanin și VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (ediția a 2-a) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
AD Polyanin, Manual de ecuații diferențiale parțiale liniare pentru ingineri și oameni de știință , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare