Fibonacci Prime - Wiferich

Probleme nerezolvate în matematică : există numere prime Fibonacci-Wieferich? Dacă da, există un număr finit dintre ele?

Primul Fibonacci-Viferich (și Wall-Sun-Sun prim , ing. Wall-Sun-Sun ) este unul dintr-un anumit tip de număr prim presupus existent , asociat cu numerele Fibonacci . Din 2013, un astfel de număr nu a fost găsit.

Definiție

Un prim se numește prim Fibonacci-Wiferich dacă împarte numărul Fibonacci , unde simbolul Legendre este definit ca: $p>5$ $p^{2}$ $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right))$ $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$

\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}} \\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}

Definiție echivalentă: un prim se numește prim Fibonacci-Wieferich dacă , unde este --lea număr Lucas . [1] :42 $p$ $L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}$ $L_{p}$ $p$

Existenta

Există o ipoteză că există infinit de numere prime Fibonacci-Wiferich [2] , cu toate acestea, din 2013, nu a fost descoperit niciun astfel de număr prim.

În 2007, Richard J. McIntosh și Eric L. Roettger au arătat că, dacă există, trebuie să fie mai mari decât 2⋅10 14 [3] , în 2010 François Dorais ( François G. Dorais ) și Dominic Klyve au adus limita la 9,7⋅ 10 14 [4] . În decembrie 2011 a fost începută o căutare în proiectul PrimeGrid [5] , în decembrie 2012 PrimeGrid a ajuns la granița de 1,5⋅10 16 [6] . În aprilie 2014, PrimeGrid a ajuns la granița de 2,8⋅10 16 și continuă să caute [6] .

Istorie

Primele Wall-Sun-Sun sunt numite după Donald Wall [ 7 ] , Sun Zhìhóng și Sūn Zhìwěi , care au arătat în 1992 că , dacă primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat este fals pentru un anumit prim , atunci trebuie să fie un prim Fibonacci-Wieferich [8] ] . Astfel, înainte de demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat de către Andrew Wiles , căutarea primelor Fibonacci-Wieferich a fost menită să găsească un potențial contraexemplu . $p,$ $p$