Pseudo arc

Un pseudoarc este cel mai simplu exemplu de continuum care este ereditar incompresibil , adică orice subcontinuum nu poate fi reprezentat ca unirea a două subcontinuum propriu-zise. $K$ $K$

Clădire

O mapare continuă de la segment la segment se numește -deformată dacă pentru orice valoare din interval există valori astfel încât $f\colon [a,b]\la [c,d]$ $\varepsilon$ $t_{1}<t_{2}$ $[a,b]$ ${\displaystyle t_{1}<t_{2}'<t_{1}'<t_{2))$

|f(t_{1})-f(t_{1}')|<\varepsilon

și .

|f(t_{2})-f(t_{2}')|<\varepsilon

Un pseudoarc poate fi construit ca limita proiectivă a unei secvențe de mapări deformate pentru o secvență adecvată care converge la zero suficient de repede. $\varepsilon_{n}$ $f_{n}\colon [0,1]\to [0,1]$ $\varepsilon_{n}$

Definiții înrudite

Un continuum se numește serpentină dacă pentru oricare dintre acoperirile sale există o acoperire finită înscrisă astfel încât dacă și numai dacă . ${U_i}$ $i\în\{1,2,\puncte,n\}$ $U_i\cap U_j\not=\varnothing$ $|ij|\le 1$

Proprietăți

Pseudoarcul este încorporat în planul euclidian.
Două puncte ale unui pseudo-arc nu pot fi conectate printr-o cale
- În special, pseudoarcul nu conține arcuri Jordan
Există un domeniu în planul euclidian homeomorf la un disc astfel încât fiecare subconinium propriu non-trivial este homeomorf la un pseudoarc. $\Omega$ $\partial \Omega$
Orice subcontinuum netrivial al unui pseudoarc este homeomorf unui pseudoarc.
În spațiul tuturor subcontinuelor unui cub , cu metrica Hausdorff , pseudoarcurile formează o mulțime densă G-delta . $[0,1]^n$ $n>1$
Pseudoarcul este singurul continuum serpentin, până la homeomorfism, incompresibil ereditar.

Istorie

Primul exemplu de continuum incompresibil a fost construit de Brouwer în 1910 . Problema existenței unui continuum incompresibil ereditar a fost ridicată de Kuratovsky și Knaster . [1] Un exemplu a fost în curând construit de Knaster [2] .

Vezi și

Lacurile Vada

Note

↑ Knaster, B.; Kuratowski, C. Surles ansambluri conexe. Matematică fundamentală. 2, 206-255 (1921).
↑ Knaster, B. Un continu dont tout sous-continu est indécomposable. Matematică fundamentală. 3, 247-286 (1922).

Literatură

I. M. Vinogradov. Pseudoarc // Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)