Varietatea pseudo-riemanniană

O varietate pseudo-riemanniană  este o varietate în care este dat un tensor metric (forma pătratică), nedegenerat în fiecare punct, dar nu neapărat definit pozitiv . De obicei, se presupune că semnătura metricii este constantă (în cazul unei varietăți conectate , aceasta decurge automat din condiția de non-degenerare).

Exemple

• Un spațiu pseudo-euclidian oferă cel mai simplu exemplu de varietate pseudo-riemanniană.
• Varietățile riemanniene  sunt un caz special de varietăți pseudo-riemanniene; acestea sunt varietăți pseudo-riemanniene de semnătură (0,n)
  • Varietățile pseudo-riemanniene care nu sunt riemanniene sunt uneori numite pseudo-riemanniene propriu-zise .
• O varietate pseudo-riemanniană de semnătură (1,n) se mai numește și varietate lorentziană. Ele reprezintă punctul central al teoriei generale a relativității .

Definiții înrudite

• Spațiul tangent în fiecare punct al unei varietăți pseudo-riemanniene are structura naturală a unui spațiu vectorial pseudo-euclidian .
• Similar cazului riemannian, conexiunea Levi-Civita și tensorul de curbură sunt definite în varietăți pseudo-riemanniene .
• Spre deosebire de varietățile riemanniene, pe varietăți pseudo-riemanniene propriu-zise, ​​nu se poate introduce structura naturală a unui spațiu metric , deoarece există puncte necoincidente, distanța dintre care este egală cu zero.