Ecuația Pfaffiană

O ecuație Pfaffiană este o ecuație de forma , unde este o formă 1 diferențială (forma Pfaffiană) pe mănunchiul tangent al unei varietăți de dimensiune . Numit după matematicianul german Johann Friedrich Pfaff . $\omega =0$ $\omega$ $M^{n}$ $n$

Dacă coordonatele (locale) sunt introduse pe varietatea , atunci ecuația Pfaffiană (local) are forma $M^{n}$ $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

a_{1}(x)\,dx_{1}+a_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{n}(x)\,dx_{n}=0,

unde sunt definite funcțiile scalare pe . Cel mai simplu exemplu este o ecuație diferențială de ordinul întâi, scrisă în așa-numita formă simetrică : $a_{i}(x)$ $M^{n}$

P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0,\quad x,y\in \mathbb {R}

Sistemul Pfaffian

Un sistem Pfaffian (un sistem de ecuații Pfaffian) este un sistem de ecuații de forma , unde sunt forme 1 diferențiale pe mănunchiul tangent al unei varietăți de dimensiune . În coordonatele Pfaffian, sistemul are forma $\omega _{1}=0,\omega _{2}=0,\ldots,\omega _{m}=0$ $\omega _{i}$ $M^{n}$ $n$

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,dx_{1}+a_{12}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{1n}(x )\,dx_{n}&=0\\a_{21}(x)\,dx_{1}+a_{22}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{2n}(x) \,dx_{n}&=0\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \ puncte \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1}(x)\,dx_{1}+a_{m2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{ mn}(x)\,dx_{n}&=0.\\\end{matrice}}\dreapta.\qquad \qquad (*)$

Rangul unui sistem Pfaffian într-un punct este numărul egal cu rangul matricei . Se întâmplă de obicei . $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $r(x)$ $(a_{ij}(x))$ $r(x)<n$

Sistemul Pfaffian (*) definește în spațiul tangent un subspațiu vectorial de dimensiune , care se numește subspațiu admisibil într-un punct dat. Câmpul subspațiilor admisibile astfel construit se numește distribuție corespunzătoare sistemului Pfaffian (*). În special, pentru , distribuția este câmpul direcțiilor pe , pentru , distribuția este câmpul planurilor bidimensionale, iar pentru , distribuția este câmpul hiperplanurilor . $T_{x}M^{n}$ $nr(x)$ $M^{n}$ $r(x)\equiv n-1$ $M^{n}$ $r(x)\equiv n-2$ $r(x)\equiv 1$

Sistemele Pfaffian sunt o generalizare a ecuațiilor diferențiale ordinare (ODE) de ordinul întâi: alegând dintre coordonatele una (de exemplu, ) ca „variabilă independentă” și împărțind ecuațiile sistemului (*) la , obținem un sistem de ODE de prim ordin: $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $x_{n}$ $dx_{n}$

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,x_{1}'+a_{12}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{1n- 1}(x)\,x_{n-1}'+a_{1n}(x)&=0\\a_{21}(x)\,x_{1}'+a_{22}(x)\ ,x_{2}'+\cdots +a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{2n}(x)&=0\\\dots \dots \dots \dots \ puncte \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1 }(x)\,x_{1}'+a_{m2}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}'+a_ {mn}(x)&=0,\\\end{matrice}}\dreapta.\qquad \qquad (**)$

unde . ${\displaystyle x_{i}'=dx_{i}/dx_{n))$

Din punct de vedere geometric, trecerea de la sistem (*) la sistem (**) înseamnă trecerea de la coordonatele omogene la coordonatele neomogene în spații tangente proiectizate la o varietate . $(dx_{1},\ldots, dx_{n})$ $M^{n}$

Integrarea sistemelor Pfaffian

Principala problemă asociată cu sistemele Pfaffian este de a găsi suprafețele lor integrale — suprafețe (subvariete) de dimensiuni în varietatea pe care sunt satisfăcute toate ecuațiile sistemului (*). Geometric, aceasta înseamnă că suprafața integrală în fiecare punct este tangentă la subspațiul admisibil dat de sistemul (*), adică spațiul tangent la k este conținut în subspațiul admisibil al sistemului (*). $1,2,\ldots ,n-1$ $M^{n}$ $S$ $S$

Un sistem Pfaffian (*) de rang constant se numește complet integrabil dacă o suprafață integrală de dimensiunea maximă posibilă trece prin fiecare punct al varietății . $m<n$ $M^{n}$ $S_{nm)$ $nm$

Într-o vecinătate a oricărui punct, un sistem complet integrabil de rang poate fi redus la forma canonică prin alegerea coordonatelor locale adecvate pe varietate. $m<n$ $M^{n}$

dx_{1}=0,\dx_{2}=0,\,\ldots ,\,dx_{m}=0.

Condiția necesară și suficientă pentru integrabilitatea completă este dată de teorema Frobenius . După cum se aplică sistemului Pfaffian (*), această condiție poate fi exprimată după cum urmează:

\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{m}\wedge d\omega _{i}=0\quad \ i=1,\ldots ,m,\qquad \qquad (* **)

unde denotă diferența exterioară a formei 1 și denotă produsul exterior al formelor. $d\omega _{i)$ $\pană$

Exemple

Ecuația Pfaffiană este complet integrabilă: suprafețele sale integrale sunt plane în spațiul tridimensional. Cu ajutorul unei înlocuiri , această ecuație se reduce la forma canonică Condiția (***) a teoremei Frobenius este în mod evident satisfăcută în acest caz, deoarece $\omega =dx_{1}+dx_{2}+dx_{3}=0$ $x_{1}+x_{2}+x_{3}=c$ ${\tilde {x}}_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}$ $d{\tilde {x}}_{1}=0.$ $d\omega =0.$

Ecuația Pfaffiană nu este complet integrabilă. În acest caz , condiția (***) a teoremei Frobenius nu este, de asemenea, îndeplinită: $\omega =x_{3}\,dx_{1}+dx_{2}=0$ $d\omega =dx_{3}\wedge dx_{1)$

\omega \wedge d\omega =(x_{3}\,dx_{1}+dx_{2})\wedge (dx_{3}\wedge dx_{1})=dx_{1}\wedge dx_ {2}\wedge dx_{3}\neq 0.

Vezi și

Literatură

Rashevsky P.K. Teoria geometrică a ecuațiilor cu diferențe parțiale, - Orice ediție.
Stepanov V.V. Curs de ecuații diferențiale, - Orice ediție.