Spațiu vectorial

Spațiul vectorial ( spațiul liniar ) este o structură matematică , care este un set de elemente, numite vectori , pentru care sunt definite operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar [1] . Aceste operații sunt supuse opt axiome . Scalarii pot fi elemente ale unui câmp real , complex sau al oricărui alt câmp numeric . Un caz special al unui astfel de spațiu este spațiul euclidian tridimensional obișnuit , ai cărui vectori sunt utilizați, de exemplu, pentru a reprezenta forțele fizice .. În acest caz, vectorul ca element al spațiului vectorial nu trebuie să fie specificat ca segment direcționat. Generalizarea conceptului de „vector” la un element al unui spațiu vectorial de orice natură nu numai că nu provoacă confuzii de termeni, dar ne permite și să înțelegem sau chiar să anticipăm o serie de rezultate care sunt valabile pentru spații de natură arbitrară . 2] .

Spațiile vectoriale sunt obiectul de studiu în algebra liniară . Una dintre principalele caracteristici ale unui spațiu vectorial este dimensiunea acestuia. Dimensiunea este numărul maxim de elemente liniar independente ale spațiului, adică recurgând la o interpretare geometrică grosieră, numărul de direcții care nu pot fi exprimate între ele doar prin adunarea și înmulțirea cu un scalar. Spațiul vectorial poate fi dotat cu structuri suplimentare, cum ar fi norma sau produsul punctual . Astfel de spații apar în mod natural în calcul , predominant sub formă de spații funcționale cu dimensiuni infinite unde vectorii funcții Multe probleme de analiză necesită a afla dacă o secvență de vectori converge către un vector dat. Luarea în considerare a unor astfel de întrebări este posibilă în spații vectoriale cu o structură suplimentară, în cele mai multe cazuri - o topologie adecvată , care ne permite să definim conceptele de proximitate și continuitate . Astfel de spații vectoriale topologice , în special spațiile Banach și Hilbert , permit un studiu mai profund.

Primele lucrări care au anticipat introducerea conceptului de spațiu vectorial datează din secolul al XVII-lea . Atunci, geometria analitică , doctrina matricelor , sistemele de ecuații liniare și vectorii euclidieni au primit dezvoltarea lor .

Definiție

Spațiul liniar sau vectorial peste un câmp este un cvadruplu ordonat , unde $V(F)$ $F$ $(V,F,+,\cdot )$

$V$ este o mulțime nevidă de elemente de natură arbitrară, care se numesc vectori .
$F$ este un câmp ale cărui elemente se numesc scalari .
Este definită operația de adunare vectorială care asociază fiecare pereche de elemente ale mulțimii cu un singur element al mulțimii , numit suma lor și notat cu . $V\time V\to V$ $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ $V$ $V$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$
Se defineste operatia de multiplicare a vectorilor cu scalari care asociaza fiecare element al campului si fiecare element al multimii cu un singur element al multimii, notat cu sau . $F\ori V\la V$ $\lambda$ $F$ $\mathbf {x}$ $V$ $V$ $\lambda \cdot \mathbf {x}$ $\lambda \mathbf {x}$

Operațiile date trebuie să satisfacă următoarele axiome — axiomele unui spațiu liniar (vector):

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ pentru orice ( comutativitatea adunării ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ pentru orice ( asociativitatea adunării ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \în V$
există un astfel de element care pentru orice ( existența unui element neutru în raport cu adunarea ), numit vector zero , sau pur și simplu zero , spațiu ; $\mathbf {0} \în V$ $\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \în V$ $V$
pentru orice există un astfel de element care , numit vector opus vectorului ; $\mathbf {x} \în V$ $-\mathbf {x} \în V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {x}$
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ ( asociativitatea înmulțirii cu un scalar );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitaritate: înmulțirea cu un element neutru (prin multiplicare) a unui câmp păstrează un vector $F$ ).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ ( distributivitatea înmulțirii unui vector cu un scalar în raport cu adăugarea scalarilor );
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ ( distributivitatea înmulțirii unui vector cu un scalar în raport cu adăugarea vectorilor ).

Astfel, operația de adunare definește structura unui grup abelian (aditiv) pe mulțime . $V$

Spațiile vectoriale definite pe același set de elemente, dar pe câmpuri diferite, vor fi spații vectoriale diferite (de exemplu, setul de perechi de numere reale poate fi un spațiu vectorial bidimensional peste câmpul numerelor reale sau unidimensional peste domeniul numerelor complexe ). $\mathbb {R} ^{2}$

Cele mai simple proprietăți

Spațiul vectorial este un grup abelian prin adunare.
Elementul neutru este singurul care rezultă din proprietățile grupului. $\mathbf {0} \în V$
$0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0}$ pentru orice . $\mathbf {x} \în V$
Pentru orice element opus este singurul care rezultă din proprietățile grupului. $\mathbf {x} \în V$ $-\mathbf {x} \în V$
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ pentru orice . $\mathbf {x} \în V$
$(-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )$ pentru orice și . $\alpha \în F$ $\mathbf {x} \în V$
$\alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ pentru orice . $\alpha \în F$

Definiții și proprietăți înrudite

Subspațiu

Definiție algebrică: Un subspațiu liniar , sau un subspațiu vectorial , este o submulțime nevidă a unui spațiu liniar, astfel încât este el însuși un spațiu liniar în raport cu cele definite în operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Setul tuturor subspațiilor este de obicei notat ca . Pentru ca o submulțime să fie un subspațiu, este necesar și suficient ca $K$ $V$ $K$ $V$ $\mathrm {Lat} (V)$

pentru orice vector , vectorul a aparținut și pentru orice ; $\mathbf {x} \în K$ $\alpha \mathbf {x}$ $K$ $\alpha \în F$
pentru orice vector , vectorul a aparținut și lui . $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \în K$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ $K$

Ultimele două afirmații sunt echivalente cu următoarele:

pentru orice vector, vectorul a aparținut și oricărui vector .

\mathbf {x} ,\mathbf {y} \în K

\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}

K

\alpha ,\beta \în F

În particular, un spațiu vectorial format dintr-un singur vector zero este un subspațiu al oricărui spațiu; orice spațiu este un subspațiu al lui însuși. Subspațiile care nu coincid cu aceste două sunt numite propriu -zise sau non-triviale .

Proprietăți subspațiu

Intersecția oricărei familii de subspații este din nou un subspațiu;
Suma subspațiilor este definită ca o mulțime care conține toate sumele posibile de elemente : $\{K_{i}\mid i\in 1\ldots N\)$ $K_{i}$ $\sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\mid \mathbf {x} _{i}\în K_{i}\quad (i\în 1\ldots N)\}$ .
- Suma unei familii finite de subspații este din nou un subspațiu.

Combinații liniare

Exprimarea formală a formei

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}

se numește [3] o combinație liniară de elemente cu coeficienți . $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\în V$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\în F$

De fapt, această definiție (și cele date mai jos) se aplică nu numai combinațiilor de vectori, ci și combinațiilor de orice alte obiecte pentru care astfel de sume au sens (de exemplu, combinațiilor de puncte dintr- un spațiu afin ).

Combinația liniară se numește:

netrivială dacă cel puțin unul dintre coeficienții săi este diferit de zero.
baricentric dacă suma coeficienților săi este egală cu 1 [4] ,
convex dacă suma coeficienților săi este egală cu 1 și toți coeficienții sunt nenegativi,
echilibrat dacă suma coeficienților săi este 0.

Bază. Dimensiune

Vectorii sunt numiți [5] dependenți liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora, a cărei valoare este egală cu zero; acesta este $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _ {n}=\mathbf {0}

pentru unii coeficienți nenuli $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{n}\in F.$

În caz contrar, acești vectori sunt numiți liniar independenți .

Această definiție permite următoarea generalizare: o mulțime infinită de vectori de la se numește dependentă liniar , dacă o submulțime finită a acestuia este dependentă liniar și independentă liniar , dacă oricare dintre submulțimile sale finite este independentă liniar. $V$

Se poate arăta [6] că numărul de elemente ( putere ) din mulțimea maximă liniar independentă de elemente a unui spațiu vectorial nu depinde de alegerea acestei mulțimi. Acest număr se numește rangul sau dimensiunea spațiului, iar acest set în sine se numește bază ( baza Hamel sau baza liniară ). Elementele bazei se numesc vectori de bază . Dimensiunea spațiului este cel mai adesea indicată prin simbolul . ${\rm {dim}}$

Astfel, dimensiunea unui spațiu vectorial este fie un număr întreg nenegativ (în special, egal cu zero dacă spațiul este format dintr-un singur vector zero) sau infinit (mai precis, puterea unei mulțimi infinite). În primul caz, spațiul vectorial se numește finit -dimensional , iar în al doilea - infinit -dimensional (de exemplu, spațiul funcțiilor continue este infinit-dimensional ). În mod tradițional, studiul spațiilor vectoriale cu dimensiuni finite și al mapărilor lor aparține algebrei liniare , iar studiul spațiilor vectoriale cu dimensiuni infinite analizei funcționale . În cel de-al doilea caz, un rol esențial îl joacă întrebarea despre descompunerea unui element dat într-un sistem infinit de funcții dat, adică convergența sumelor infinite corespunzătoare, pentru care un spațiu vectorial de dimensiuni infinite este considerat împreună. cu o structură suplimentară care permite determinarea convergenței, de exemplu, cu o metrică sau topologie .

Proprietăți de bază:

Orice elemente liniar independente ale spațiului -dimensional formează o bază a acestui spațiu. $n$ $n$
Orice vector poate fi reprezentat (unic) ca o combinație liniară finită de elemente de bază: $\mathbf {x} \în V$

\mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf { x} _{n}

Înveliș liniar

Spațiul liniar al unei submulțimi a unui spațiu liniar este intersecția tuturor subspațiilor care conțin . ${\mathcal {V}}(X)$ $X$ $V$ $V$ $X$

Spațiul liniar este un subspațiu al . $V$

Spațiul liniar este numit și subspațiul generat de . Se mai spune că intervalul liniar este spațiul acoperit de mulțime . $X$ ${\mathcal {V}}(X)$ $X$

Intervalul liniar constă din toate combinațiile liniare posibile ale diferitelor subsisteme finite de elemente din . În special, dacă este o mulțime finită, atunci constă din toate combinațiile liniare de elemente . Astfel, vectorul nul aparține întotdeauna intervalului liniar. ${\mathcal {V}}(X)$ $X$ $X$ ${\mathcal {V}}(X)$ $X$

Dacă este o mulțime liniar independentă, atunci este o bază și determină astfel dimensiunea acesteia. $X$ ${\mathcal {V}}(X)$

Izomorfism

Două spații liniare și se numesc izomorfe dacă se poate stabili o corespondență unu-la-unu între vectori și în așa fel încât să fie îndeplinite următoarele condiții: $V'(F)$ $V''(F)$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

dacă vectorul corespunde vectorului și vectorul corespunde vectorului , atunci vectorul corespunde vectorului $\mathbf {x} „\în V”$ $\mathbf {x} ''\în V''$ $\mathbf {y} „\în V”$ $\mathbf {y} ''\în V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\în V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\în V''$
dacă vectorul corespunde vectorului și este un element al câmpului , atunci vectorul corespunde vectorului [7] $\mathbf {x} „\în V”$ $\mathbf {x} ''\în V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} „\în V”$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Exemple

Un spațiu nul al cărui singur element este zero.
Spațiul tuturor funcțiilor cu suport finit formează un spațiu vectorial de dimensiune egală cu puterea . $X\la F$ $X$
Câmpul numerelor reale poate fi privit ca un spațiu vectorial continuu - dimensional peste câmpul numerelor raționale .
Orice câmp este un spațiu unidimensional deasupra lui însuși.
Spațiile matricelor și tensoarelor formează un spațiu liniar.

Structuri suplimentare

Vezi și

Note

↑ Nu confundați conceptele de „înmulțire printr-un scalar” și „ produs scalar ”.
↑ Ilyin, Poznyak, 2010 , p. 45.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. opt.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 198.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 16.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. paisprezece.
↑ Shilov G. E. Introducere în teoria spațiilor liniare. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - p. 70

Literatură

Gelfand I. M. Prelegeri despre algebră liniară. - a 5-a. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 p. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Gelfand I. M. Prelegeri despre algebră liniară. a 5-a ed. - M . : Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Algebră liniară și geometrie. a 2-a ed. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 2: Algebră liniară. - al 3-lea. - M . : Nauka ., 2004. - 368 p. — (Manual universitar).
Maltsev AI Fundamentele algebrei liniare. - al 3-lea. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.

Postnikov M. M. Linear Algebra (Prelegeri de geometrie. Semestrul II). - al 2-lea. — M .: Nauka , 1986. — 400 p.
Forța G. Algebra liniară și aplicațiile sale. — M .: Mir , 1980. — 454 p.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algebră liniară. a 6-a ed. - M. : Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 p.
Faddeev D. K. Prelegeri despre algebră. - a 5-a. - Sankt Petersburg. : Lan , 2007. - 416 p.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. - primul. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 p.
Schreier O., Shperner G. Introducere în algebra liniară într-o prezentare geometrică = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (tradus din germană). - M. - L .: ONTI , 1934. - 210 p.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte