Foliare

O folie este o construcție geometrică în topologie : se spune că o varietate are o folie de dimensiune , dacă varietatea este „tranșată” (în mod consecvent în jurul fiecărui punct) în „ straturi ” de dimensiune . $p$ $p$

Cele mai studiate sunt foliațiile unidimensionale generate de traiectorii de câmpuri vectoriale nesingurale pe o varietate și foliile de codimension 1 .

Conceptul de foliare apare în mod natural, printre altele, în teoria sistemelor dinamice : de exemplu, pentru sistemele dinamice hiperbolice există foliații stabile și instabile .

Definiție formală

Spunem că o folie -dimensională este dată pe o varietate -dimensională dacă varietatea este acoperită de diagrame cu mapările de coordonate corespunzătoare $n$ $M$ $p$ $U_{i}$

\varphi _{i}=(x_{i},\;t_{i})\colon U_{i}\la D^{p}\times D^{{np}},

astfel încât hărțile de regulare au forma

\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{{-1}}(x,\;t)=(F_{{ij}}(x,\;t),\;T_{{ij }}(t)).

Cu alte cuvinte, în timpul regulării, a doua coordonată („transversală”) este determinată doar de a doua coordonată.

În acest caz, se consideră relația de echivalență generată de relație , dacă într-una din hărți coordonatele secunde ale punctelor și coincid. Clasa de echivalență a unui punct se numește apoi fibra care trece prin punctul . $p\sim p'$ $p$ $p'$ $p$ $p$

De asemenea, dacă un set de puncte (de obicei finit, și întotdeauna de codimensione cel puțin 2) nu este acoperit de hărțile alese, spunem că se dă o folie specială (sau o foliare cu singularități ), iar aceste puncte se numesc singular . punctele folierii .

Exemple

Împărțirea unei varietăți în traiectorii unui câmp vectorial nesingular definește o folie unidimensională pe aceasta.
Orice pachet (local trivial) este automat un pachet.
Dacă este dată acțiunea grupului fundamental al varietății asupra varietății , $M$ $N$

h\colon \pi _{1}(M)\to {\mathrm {Diff}}(N),

apoi se construiește din ea o suprastructură , o folie, dinamica cartografiilor holonomiei care modelează această acțiune. Și anume, produsul cartezian al acoperirii universale peste și , varietatea , cu o folie „orizontală” pe el este factorizat prin acțiunea „diagonală” a grupului fundamental: $M$ $N$ ${\tilde {M}}\time N$

\gamma (x,\;y)=(\gamma .x,\;h(\gamma )(y)).

Deoarece această acțiune păstrează folierea orizontală, această foliare scade cu un factor, dând suspensia dorită.

$p$ - forma , care satisface criteriul Frobenius pentru integrabilitatea câmpului de planuri în fiecare punct al varietății , definește o foliare -dimensională a acestei varietăți; $p$
câmpul vectorial polinomial în definește o foliare specială bidimensională. $\mathbb {C} ^{n}$

Mănunchiuri tangente și normale ale unei folii

Mănunchiul tangent al varietății totale a folierii are un subbundle , ai cărui vectori sunt tangenți la straturi, este fasciculul tangent al folierii . Mănunchiul de factori corespunzător se numește fascicul normal al folierii .

O folie se numește orientată dacă fasciculul său normal este orientat. Rețineți că nici varietatea totală, nici fibrele unei folii orientate nu trebuie să fie cel puțin orientabile .

O folie se numește încadrată dacă mănunchiul său normal este banal și dotat cu o anumită banalizare .

Proprietăți

Teorema lui Novikov afirmă că fiecare folie bidimensională a unei sfere tridimensionale are o fibră compactă.
Argumentul lui Haefliger arată că pentru fiecare frunză necompactă a unei folii de codimensione una pe o varietate compactă există un cerc transversal la folie care intersectează această frunză.

Vezi și

Foliarea codimensiunii 1
foliatie Riba
Criteriul Frobenius pentru integrabilitatea unui câmp de planuri.
Distribuție care definește folierea

Literatură

Tamura I. Topologia foliaţiilor. - M: Mir, 1979.
Fuks D. B. Foliații // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Algebră. Plop. Geom., 18, VINITI, Moscova, 1981, p. 151-213.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Foliation (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Fuchs D. B. Clase caracteristice de foliari . - UMN , 28 : 2 (170) (1973), p. 3-17.